![Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/5/2/6/4/0/zamechatelnye-chisla-nol-666-i-drugie-bestii-mir-matematiki-t-21-download.jpg)
Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)
- Автор: Гарсия дель Сид Ламберто
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0716-8 (т. 21)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)». Краткое содержание книги:
Конгруэнтные числа
Два целых числа называются конгруэнтными по модулю m, если при делении на m они дают одинаковый остаток. Например, 9 и 5 конгруэнтны по модулю 4, так как при делении на 4 оба этих числа дают в остатке 1. Приведем еще несколько примеров: 72 и 47 конгруэнтны по модулю 5 (оба при делении на 5 дают в остатке 2), 19 и 12 конгруэнтны по модулю 7 (оба при делении на 7 дают остаток 5).
Избыточные числа
12 — первое избыточное число, оно меньше суммы своих делителей, не считая самого себя: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Другой пример — 24: сумма его делителей — 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12–36. Избыточность числа 24 равна 36 — (2∙24) = 12. Существует всего 21 избыточное число, меньшее 100: 12, 18, 20, 24, 30, 36… Все они четные.
Определить их можно и другим способом: избыточным является всякое n, для которого выполняется условие σ(n) > 2n, где σ(n) — сумма всех делителей числа n, включая его само. Избыточность этого числа равняется σ(n) — 2n.
Избыточные числа — это числа с достаточным количеством разных простых делителей. Противоположны им недостаточные числа — все простые числа и их степени. Все числа, кратные избыточному числу, также являются избыточными, а любой делитель недостаточного числа сам является недостаточным числом.
Репьюниты
Репьюниты — это числа, запись которых состоит из одних единиц: 1, 11, 111, 1111… Они обозначаются Rn, где n — число единиц в записи числа. Единственные репьюниты, о которых известно, что они простые, — это R2, R19, R23, R317 и R1031. Если Rn простое число, то n также будет простым, но не наоборот: если n простое, это не означает, что Rn будет простым. Рассмотрим любопытное представление числа R38:
R38 = 11∙909 090 909 090 909 091 ∙ 1111111111111111111,
возможное благодаря тому, что 38 = 2∙19. Это же число можно представить и в виде:
10 000 000 000 000 000 001 ∙ 1111111111111111111 = R38.
Очевидно, что репьюниты являются разновидностью чисел-палиндромов.
Праймориалы
Праймориалы — это числа вида p# ± 1, где р# — произведение всех простых чисел, меньших либо равных р. Так, 3# + 1 = 2∙3 + 1 = 7. Следовательно, праймориал 3# + 1 является простым числом. Однако не все праймориалы — простые числа. Например, 13# + 1 = (2∙3∙7∙11∙13) + 1 = 30031 = 59∙509 — этот праймориал не является простым.
Наибольшим известным праймориалом по состоянию на 1993 год было число 24029# + 1, открытое Крисом Колдуэллом и содержащее 10387 цифр. Наибольший известный на сегодняшний день праймориал — это 392113# + 1, запись которого содержит 169 966 цифр. Это число в 2001 году вычислила группа под названием р16.
Пирамидальные числа
Если бы пушечные ядра можно было выложить так, что каждый слой имел бы форму квадрата, то возможное число ядер при такой укладке описывалось бы следующей последовательностью: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140…
Общая формула n-го члена этой последовательности выглядит так:
n∙(n + 1)∙(2n +1)/6.
Другие пирамидальные числа можно определить для укладки, в которой каждый слой имеет форму пятиугольника, шестиугольника и т. д., однако выложить ядра в форме других правильных многоугольников невозможно.
Формула, позволяющая найти число ядер во всех слоях до n-го для, например, пятиугольной пирамиды, выглядит так: 1/2n2∙(n + 1).
Циклические числа
Циклическим называется натуральное n-значное число, которое при умножении на любое другое натуральное число от 1 до n дает число, записанное теми же цифрами, что и исходное число, с циклическим сдвигом. Наиболее известным примером циклического числа является 142857, которое при умножении на 2 дает 285714, при умножении на 3 — 428571. Ниже приведены произведения этого числа на натуральные числа от 1 до 6:
142857∙1 = 142857
142857∙2 = 285714
142857∙3 = 428571
142857∙4 = 571428
142857∙5 = 714285
142857∙6 = 857142.
Еще одно любопытное свойство этого числа заключается в том, что сумма трех первых и трех последних чисел как в прямом, так и в обратном порядке дает 999 999. Быть может, причина в том, что 142857 7 дает 999999?