![Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/5/2/6/4/0/zamechatelnye-chisla-nol-666-i-drugie-bestii-mir-matematiki-t-21-download.jpg)
Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)
- Автор: Гарсия дель Сид Ламберто
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0716-8 (т. 21)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)». Краткое содержание книги:
Известны сотни кратно совершенных чисел вплоть до 9-го порядка (для этих чисел сумма делителей в девять раз больше самого числа). Одно из наименьших кратно совершенных чисел 8-го порядка открыл человек-компьютер Алан Браун. Оно записывается так: 2∙323∙59∙712∙113∙133∙172∙192∙23∙292∙312∙37∙41∙53∙61∙672∙712∙73∙83∙89∙103∙127∙131∙149∙211∙307∙331∙463∙521∙683∙ 709∙1279∙2141∙2557∙5113∙6481∙10429∙20857∙110563∙599479∙16148168401.
Дружественные числа
С древних времен два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого числа за исключением его самого. 220 и 284 — единственные дружественные числа, которые упоминаются в древних книгах по арифметике. Рассмотрим, как эти числа удовлетворяют описанному нами условию.
Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, И, 20, 22, 44, 55, 110 (их сумма равна 284).
Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142 (их сумма равна 220).
Уже в Библии говорится, что Иаков предложил брату 220 овец в знак примирения. В иудейской экзегетике число 220 считается магическим. Дружественные числа также часто упоминаются в арабских текстах. Например, Ибн Хальдун (1332–1406) в своем трактате «Пролегомены» признает чудесные свойства этих чисел, которые можно использовать при создании талисманов и гороскопов.
Портрет Ибн Хальдуна на банкноте 10 тунисских динаров. Этот арабский мудрец XV века в своих трудах упоминает дружественные числа, которые к тому времени были широко изучены арабскими математиками.
Увлечение дружественными числами затем перешло в Европу, где они привлекли внимание таких авторов XVI века, как Шюке, Этьен де ля Рош, Кардано и Тарталья. Однако первым из западных математиков нашел новую пару дружественных чисел француз Пьер Ферма (1601–1665). Применив правило, которое до него уже использовал арабский математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра, Ферма в 1636 году открыл два новых дружественных числа: 17 296 и 18416 (хотя, по всей видимости, эти числа несколькими веками ранее открыл другой арабский математик, Ибн ал-Банна ал-Гарнати). Опубликовав свое открытие, Ферма бросил вызов Декарту, предложив ему найти еще одну пару дружественных чисел. Декарт принял вызов и два года спустя, в 1638 году, в письме к Марену Мерсенну упомянул пару открытых им чисел: 9363584 и 9437056.
Эйлер, которого называли повелителем математиков, продолжил исследование этой темы и в 1747 году составил список из 30 пар дружественных чисел, позднее расширив его до 60 пар. И хотя в 1909 году было показано, что два найденных им числа в действительности не являются дружественными, а в 1914 году были найдены еще два числа, ошибочно включенные им в список, это не умаляет заслуг великого швейцарского математика.
Вторая наименьшая пара дружественных чисел (1184 и 1210) была открыта Никколо Паганини в 1866 году, когда ему было всего 16 лет. Ранее эту пару чисел упустили из вида Ферма, Декарт и даже Эйлер. Третья пара дружественных чисел в порядке возрастания (12285 и 14595), которая также не попала в поле зрения вышеупомянутых математиков, была открыта Брауном в 1939 году.
В настоящее время благодаря компьютерам список дружественных чисел существенно увеличился, и сегодня известно более 400 их пар. Любопытно, что большинство дружественных чисел (но не все) делятся на 3.
Почти дружественные числа
Числа 195 и 140 образуют вторую пару почти дружественных чисел. Этим числам чуть-чуть не хватает до того, чтобы считаться дружественными:
σ(140) = σ(195) = 140 + 195 + 1, σ(m) = σ(n) = m + n +1,
где σ(n) обозначает сумму всех делителей n, включая само это число.
Первая пара почти дружественных чисел — это числа 48 и 75, последующие пары таковы: (140; 195), (1050; 1925), (1575; 1648)…
Представление первой пары в виде суммы делителей выглядит так:
σ(48) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 124,
σ(75) = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124,
σ(48) = σ(75) = 48 + 75 + 1 = 124.
Общительные числа
Общительными называются числа, которые обладают теми же свойствами, что и дружественные, но образуют они не пары, а большие группы. Сумма делителей первого числа из такой группы равна второму числу, сумма делителей второго — третьему и т. д. Сумма делителей последнего числа равняется первому числу в группе. Например, таким свойством обладают числа 12496, 14288, 15472, 14536 и 14264.