![Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.) - Читать Любимую Русскую Полную Книгу 👉 Read-E-Book.com](/uploads/posts/books/5/2/6/4/0/zamechatelnye-chisla-nol-666-i-drugie-bestii-mir-matematiki-t-21-download.jpg)
Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)
- Автор: Гарсия дель Сид Ламберто
- Год: 2014
- Язык: русский
- Год: ООО «Де Агостини»
- ISBN: 978-5-9774-0682-6; 978-5-9774-0716-8 (т. 21)
- Жанр: Математика
Электронная книга - «Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)». Краткое содержание книги:
Совершенные числа
Совершенство свойственно не только чему-то возвышенному, утопическому или божественному, но и некоторым числам. По определению, совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. В античные времена это свойство считалось проявлением божественного, отсюда и происходит название таких чисел. Так, Аврелий Августин (354–430) в своей книге «О граде Божьем» утверждал, что Бог создал мир за шесть дней, следовательно, 6 является совершенным числом (6 = 3 + 2 + 1), равно как и 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) — за столько дней Луна совершает полный оборот вокруг Земли.
И действительно, два первых совершенных числа — это 6 и 28. Два следующих совершенных числа — это 496 и 8128. Они равны сумме своих делителей:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4084.
ЛЮБОПЫТСТВО
Если внимательно рассмотреть первые четыре совершенных числа (6,28,496 и 8128), то можно предположить, что n-е совершенное число будет содержать n цифр, но это не так. Следующим совершенным числом является 33550336. Тогда можно предположить, что последними цифрами совершенных чисел являются поочередно 6 и 8, однако и это неверно: следующим совершенным числом является 8589869056. Верная гипотеза такова: четные совершенные числа заканчиваются либо на 6, либо на 8 (следующее совершенное число равняется 137 438691328).
В поисках совершенных чисел
Первые четыре совершенных числа упоминаются уже во «Введении в арифметику» Никомаха Герасского (I век н. э.). Пятое число, 33550336, упоминается в рукописи XV века, шестое (8589869056) и седьмое (137438691328) были открыты
Пьетро Антонио Катальди в 1588 году. Восьмым совершенным числом является 230М31 (где М31 — это 2,147483647, тридцатое простое число Мерсенна), открытое Эйлером в 1750 году. Позднее были вычислены еще два совершенных числа, последнее из которых, 21278∙(21279—1), состоит приблизительно из 770 цифр.
Слева — страница трактата "О граде Божьем" 1470 года издания, в котором Аврелий Августин упоминает совершенные числа. Вверху — компьютер Сrау-2, хранящийся в Музее компьютерной истории в Кремниевой долине. В 1990-е годы с его помощью были вычислены новые совершенные числа.
В 1992 году с помощью компьютера Cray-2 было найдено новое простое число Мерсенна: 2756839 — 1. Зная это число, ученые смогли легко вычислить следующее совершенное число, самое большое из известных на тот момент:
2756838∙(2756839 —1)
Оно состоит из 455663 цифр, для которых потребуется примерно 180 листов бумаги. Сегодня самое большое из известных совершенных чисел равняется
23021376 (23021377 — 1)
Оно было получено с помощью самого большого из известных простых чисел — 23021377 — 1, которое является простым числом Мерсенна. По сути, с открытием каждого последующего простого числа Мерсенна вида 2n — 1 можно найти новое совершенное число: достаточно умножить найденное простое число Мерсенна на 2n-1. Так, простое число 23021 377— 1 позволяет получить тридцатое совершенное число 23021376 -1).
Почти совершенные числа
16 — это почти совершенное число, так как сумма его делителей, за исключением его самого, на единицу меньше него: 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Как вы увидите чуть позже, когда мы будем говорить об избыточных числах, все степени 2 являются почти совершенными числами. Неизвестно, существуют ли нечетные почти совершенные числа.
Если сумма делителей числа на единицу больше него самого, это число называется квазисовершенным. Оно должно быть нечетным и являться квадратом нечетного числа, но до сих пор не найдено ни одного такого числа. Если оно и существует, то должно быть больше 1035.
Кратно совершенные числа
Французский математик Марен Мерсенн обнаружил, что сумма делителей числа 120 равняется 2∙120 = 240, и предложил своему другу Декарту найти числа, сумма делителей которых была бы кратна самим этим числам. В предыдущем случае имеем: 120 = 23∙3∙5, делителями числа 120 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 и 60, их сумма равна 240 = 2∙120. Если в число этих делителей включить само число 120, то их сумма будет равна 360 = 3∙120, поэтому это число называется «трижды совершенным». Всего известно шесть чисел, обладающих этим свойством: 120, 672, 523776, 459818240,1476304896 и 31001180160. Все эти числа, как и совершенные числа, четные. Если трижды совершенное нечетное число существует, оно превышает 1070 и имеет по меньшей мере одиннадцать простых делителей.