Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Более доступные работы по эйлеровой характеристике, комбинаторной топологии, геометрии и многомерных многообразиях: книги D. M. Y. Sommerville «An Introduction to the Geometry of n Dimensions», David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen «Geometry and the Imagination»[21], Maurice Frechet and Ky Fan «Initiation to Combinatorial Topology» и Jeffrey Weeks «The Shape of Space». Знающим французский язык рекомендую книгу Jean-Claude Pont «La Topologie Algebrique des Origines a Poincare».
Для тех, кто любит строить топологические поверхности из бумаги и хотел бы попробовать себя в других занятиях, рекомендую книгу Stephen Barr «Experiments in Topology». Каждый любитель математики просто обязан познакомиться с чудесными книгами Мартина Гарднера. В них полно чарующих математических жемчужин. Математическая ассоциация Америки недавно выпустила пятнадцать его книг на компакт-диске под названием «Martin Gardner's Mathematical Games: The Entire Collection of his Scientific American Columns».
Некоторые другие изящные приложения формулы Эйлера описаны в книге Martin Aigner and Gunter Ziegler «Proofs from The Book». Там же приведено элементарное доказательство теоремы Коши о жесткости выпуклых многогранников. Элегантное и наглядное доказательство теоремы классификации поверхностей см. в статье George Francis and Jeffrey Weeks «Conway's ZIP proof». Вышедший в 1884 году роман Edwin Abbott «Flatland: A Romance of Many Dimensions»[22] — одновременно социальная сатира и исследование понятия математической размерности.
Введение в теорию узлов см. в книге Colin Adams «The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots». ее можно использовать в качестве учебника, но читается она скорее как научно-популярная литература.
Sylvia Nasar и David Gruber написали статью для «The New Yorker» под названием «Manifold Destiny: A Legendary Problem and the Battle Over Who Solved it»[23]. В ней они подробно разбирают свару вокруг доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона.
Голосование, проведенное среди математиков, показало, что они считают формулу Эйлера для многогранников второй по красоте теоремой во всей математике. Мы видели также еще несколько теорем, вошедших в список 10 лучших: существование пяти правильных многогранников (№ 4), теорема Брауэра о неподвижной точке (№ 6), иррациональность √2 (№ 7) и теорема о четырех красках (№ 9). Если хотите узнать об остальных, прочитайте статью David Wells «Are These the Most Beautiful?».
Приложения к главе
214. Russell (1957).
215. Poincare (1900).
216. Poincare (1904).
217. Там же.
218. Taubes (1987).
219. Smale (1961).
220. Smale (1990).
221. Там же.
222. Stallings (1962); Stallings (1960); Zeeman (1961); Zeeman (1962).
223. Freedman (1982).
224. Smale (1998).
225. Thurston (1982).
226. Hamilton (1982).
227. Perelman (2002); Perelman (2003b); Perelman (2003a).
228. Cao and Zhu (2006a); Cao and Zhu (2006b); Kleiner and Lott (2006); Morgan and Tian (2006).
229. Mackenzie (2006).
230. Дополнительные сведения см. в Nasar and Gruber (2006).
231. Nasar and Gruber (2006).
232. цитируется по Nasar and Gruber (2006).
233. Poincare (1913), 366.
Список литературы
Abbott, E. A. (2005). Flatland: A romance of many dimensions. Princeton, NJ: Princeton University Press. With an introduction by Thomas Banchoff.
Abel, N. H. (1881). Oeuvres completes de Niels Henrik Abel, vol. 2. Christiania, Norway: Imprimerie De Grondahl & Son.
Adams, C. C. (1994). The knot book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. New York: W. H. Freeman.
Aigner, M., and G. M. Ziegler (2001). Proofs from The Book (2nd ed.). Including illustrations by Karl H. Hofmann. Berlin: Springer-Verlag.
Albers, D. J. (1994). Freeman Dyson: Mathematician, physicist, and writer. The College Mathematics Journal 25 (1), January, 2-21.
Alexander, J. T. (1989). Catherine the Great: Life and legend. New York: Oxford University Press.
Allan, D. J. (1975). Plato. In C. C. Gillispie (ed.), Dictionary of scientific biography. Vol. 11, 22-31. New York: Charles Scribner's Sons.
Andrews, P. (1988). The classification of surfaces. Amer.Math. Monthly 95 (9), 861-867.
Appel, K., and W. Haken (1977). Every planar map is four colorable. I. Discharging. Illinois J. Math. 21 (3), 429-490.
Appel, K., W. Haken, and J. Koch (1977). Every planar map is four colorable. II. Reducibility. Illinois J. Math. 21 (3), 491-567.
Applegate, D., G. Jacobson, and D. Sleator (1991). Computer analysis of sprouts. Technical Report CMU-CS-91-144, Carnegie Mellon University.
Asimov, I. (1965). A short history of chemistry: An introduction to the ideas and concepts of chemistry. Science Study Series. Garden City, NY: Anchor Books, Doubleday.
Ball, W. W. R. (1892). Mathematical recreations and problems of past and present times. London: MacMillan.
Baltzer, R. (1885). Eine Erinnerung an Mobius und seinen Freund Weiske. Ber. Verh. K. Sachs. Ges.Wiss. Leipzig 37, 1-6.
Barabasi, A.-L. (2002). Linked: How everything is connected to everything else and what it means. Cambridge, MA: Perseus.
Barnette, D. (1983). Map coloring, polyhedra, and the four-color problem. Washington DC: Mathematical Association of America.
Barr, S. (1964). Experiments in topology. New York: Dover.
Baxter, M. (1990). Unfair games. Ureka: The Journal of the Archimedeans 50, 60-68.
Becker, J. C., and D. H. Gottlieb (1999). A history of duality in algebraic topology. In I. M. James (ed.), History of topology, 725-745. Amsterdam: North-Holland.
Bell, E. T. (1937). Men of Mathematics. New York: Simon and Schuster.
---. (1945). The development of mathematics. New York: McGraw-Hill.
---. (1987). Mathematics: Queen and servant of science. MAA Spectrum series. Washington DC: Mathematical Association of America.
Biggs, N. (1993). The development of topology. In J. Fauvel, R. Flood, and R. Wilson (eds.), Mdbius and his band: Mathematics and astronomy in nineteenthcentury Germany, 105-119. New York: The Clarendon Press, Oxford University Press.
21
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. ОНТИ, 1936.
22
Эббот Э. Флатландия. Роман о четвертом измерении. М.: Мир, 1976.
23
Судьба многообразия: легендарная задача и спор о том, кто ее решил. — Прим. перев.