Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
В 1998 году Смейл опубликовал список из восемнадцати самых важных нерешенных математических задач224 (Давид Гильберт сделал то же самое веком раньше). Классическая гипотеза Пуанкаре в этот список вошла.
В тот же год Институт математики Клэя объявил о награде в 1 миллион долларов за решение любой из семи самых трудных, на его взгляд, нерешенных задач в математике. Гипотеза Пуанкаре вошла и в этот элитный список. Для получения награды математик должен представить доказательство теоремы, которое выдержит придирчивую проверку математическим сообществом в течение двух лет после опубликования.
В 1982 году Билл Тёрстон анонсировал план полной классификации геометрии всех трехмерных многообразий. Он предположил, что любое трехмерное многообразие можно разрезать на области, каждое из которых будет обладать одной из восьми геометрических структур225. Это предположение получило название «гипотеза геометризации Тёрстона». С помощью этих восьми стандартных элементов можно было бы понять геометрию и топологию любого трехмерного многообразия. В частности, отсюда следовало бы, что единственным односвязным замкнутым трехмерным многообразием является трехмерная сфера. Это доказывало бы гипотезу Пуанкаре.
В том же году Ричард Гамильтон, математик из Корнеллского университета, приступил к реализации программы, которая, по его мнению, должна была доказать гипотезу геометризации Тёрстона226. Он хотел взять произвольное трехмерное многообразие и, надувая его, как воздушный шарик, непрерывно деформировать в форму, которая, как он надеялся, будет точно отвечать модели Тёрстона. На пути к этой цели он добился значительного прогресса. Большинство специалистов полагало, что его техника должна сработать, но ни Гамильтон, ни кто-либо еще не смогли избавиться или еще как-то решить проблему сингулярностей — участков многообразия, которые не только не становились лучше при надувании, но даже превращались в нечто худшее.
В 2002 году скромный российский математик Григорий Перельман (Гриша) (родился в 1966 г.) из Математического института им. Стеклова поразил математическое сообщество, опубликовав в интернете первую из трех коротких, но чрезвычайно насыщенных статей. В этих статьях общим объемом всего 68 страниц автор утверждал, что довел до конца исследовательскую программу Гамильтона, которой исполнилось уже двадцать лет227. В них показано, что некоторые сингулярности вообще никогда не возникают, а другие при должной аккуратности можно устранить. В совокупности статьи содержали доказательство гипотезы геометризации и, как следствие, классической гипотезы Пуанкаре.
Математическое сообщество было настроено скептически — такие заявления звучали и раньше, а в статьях было очень мало деталей, — но и с осторожным оптимизмом. Перельман был уважаемым математиком и следовал широко признанному плану Гамильтона.
В рассуждениях Перельмана многое осталось недосказанным. Даже лучшие специалисты по геометрии и топологии испытывали трудности при проверке правильности доказательства. Три независимые группы математиков под микроскопом изучили его аргументы, восполнив недостающие детали228. Средняя длина анализа составила свыше трехсот страниц. Никаких серьезных ошибок не было найдено.
К концу 2006 года сложилось общее мнение, что доказательство Перельмана правильно. В тот год журнал «Science» назвал доказательство Перельмана «прорывом года»229. Как Смейл и Фридман до него, сорокалетний Перельман был номинирован на филдсовскую премию за вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре (Тёрстон тоже получил филдсовскую премию за работу, которая косвенно привела к окончательному доказательству). Начался обратный отсчет времени в гонке за приз в миллион долларов (некоторые полагают, что награду вручат Перельману и Гамильтону вместе).
Возможно, покорена одна из высочайших математических вершин, подобная великой теореме Ферма, доказанной десятью годами ранее. Флаг водружен. Кто-то, возможно, посчитает, что это достижение звучит как похоронный звон по целой отрасли математики. Разумеется, это не так. С этой вершины математикам открывается ошеломляющее зрелище еще неизведанных пиков, ждущих своих покорителей. Как и в случае великой теоремы Ферма, не так важен сам результат, как огромный пласт математических методов, созданных в попытках доказать его.
Великая математика порождает еще более великую. Решение Эйлером задачи о кёнигсбергских мостах и данное им доказательство формулы для многогранников положило начало целой череде открытий во многих областях красивейшей математики и привело к созданию топологии. Гипотеза Пуанкаре — лишь одна из остановок в этом волнующем путешествии. Топология по-прежнему живее всех живых и активно развивается.