Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.
Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sn, но даже S3. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S3. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре217.
На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ. Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.
Знатные вызовы всем по вкусу, а уж гипотеза Пуанкаре — всем вызовам вызов. Она вошла в короткий список задач — вместе с теоремой о четырех красках, великой теоремой Ферма и гипотезой Римана, — получивших мистический статус. Как и остальные проблемы из этого списка, гипотеза Пуанкаре целиком захватывала тех, кто над ней работал. Несть числа молодым математикам, вступившим в эту схватку. Как писал один журналист, «математики говорят о гипотезе Пуанкаре, как Ахав толковал о Белом ките»218. Начиная с 1904 года многие заявляли, будто нашли доказательство. Но до недавнего времени все доказательства содержали дефекты — иногда тонкие ошибки, укрывшиеся в сотнях страниц глубокой математики.
В конце концов, гипотеза была обобщена на n-мерные многообразия — любое n-мерное многообразие, в достаточной степени похожее на n-мерную сферу, должно быть гомеоморфно Sn. Может показаться, что это обобщение до нелепости амбициозно. Как можно доказать его для n = 100, если мы даже для n = 3 не можем этого сделать? Если я лежа не могу выжать 80 килограммов, то с чего я вообразил, будто смогу поднять 225? Но, как ни странно это звучит, для больших n гипотеза проще! Часто бывает, что топология в пространствах малой размерности сложнее, чем в случае большой размерности. Грубо говоря, чем больше измерений, тем больше свободы двигать предметы, избегая столкновений.
Горячий молодой тополог Стивен Смейл (родился в 1930 г.) из Калифорнийского университета в Беркли дал первое доказательство обобщенной гипотезы Пуанкаре. В 1960 году он подтвердил гипотезу для важного класса гладких многообразий размерности n ≥ 5219.
Смейл — колоритная личность. Он открыто выступал против войны во Вьетнаме и является страстным поборником свободы слова. Его протесты, в т. ч. критика американской внешней политики во время посещения Москвы, стали причиной судебного иска со стороны Комиссии по расследованию антиамериканской деятельности. Позже он оказался в затруднительном положении во время шестимесячного пребывания в Бразилии, оплаченного Национальным научным фондом. Советник президента Джонсона по науке писал: «Эта беспечность заставляет математиков всерьез считать, что обычный налогоплательщик должен верить, будто за создание математики на пляжах Рио-де-Жанейро следует платить из общественных фондов»220.
Поводом для этого высказывания послужили ставшие знаменитыми слова Смейла: «Самая лучшая моя работа была проделана на пляжах Рио-де-Жанейро»221. Находясь в Бразилии, Смейл не только доказал многомерную гипотезу Пуанкаре, но и открыл подкову Смейла, пример хаотической динамической системы.
Не прошло и двух лет, как результат Смейла для n ≥ 5 был обобщен на многообразия без предположения гладкости222. Казалось, что победа не за горами. Но тут прогресс застопорился. Случай n = 4 пал только в 1982 году — его доказал тридцатитрехлетний Майкл Фридман из Калифорнийского университета в Сан-Диего223. Затем снова наступила пауза. Каждая новая размерность давалась труднее предыдущих. Оригинальная гипотеза для размерности 3 оставалась неприступной. Появлялись и исчезали все новые неправильные доказательства. Казалось, проблема неразрешима.