Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Наконец, я говорю спасибо своей жене Бекки и детям Бену и Норе, которые вынуждены были мириться с моим отсутствием в течение многих и многих часов, отданных книге.
Приложение A
Создаем многогранники и поверхности своими руками
Лучший способ изучить многогранники и топологические поверхности — изготовить их собственноручно. На следующих страницах показаны развертки всех пяти платоновых тел, тора, цилиндра, ленты Мёбиуса, бутылки Клейна и проективной плоскости.
Ниже приведены инструкции по изготовлению бумажных моделей.
1. Сфотографируйте развертку из книги. Увеличьте ее, если хотите сделать модель побольше.
2. Скопируйте развертку на лист плотной бумаги. Можете вместо этого перевести ее на клейкую пленку и наклеить ее на лист картона.
3. Аккуратно вырежите развертку по линейке острым ножом.
4. Тупым ножом наметьте сгибы, чтобы фигура хорошо сложилась.
5. Пользуйтесь выступами, если собираетесь склеить модель. Отрежьте выступы, если хотите соединить края модели скотчем.
Приложение B
Рекомендуемое чтение
В конце книги имеется полный список литературы. В него включены все источники, которыми я пользовался при работе над книгой, а также многие первичные источники упоминаемых теорем. Я хотел бы особо остановиться на нескольких книгах и статьях, которые могут быть полезны читателям, желающим узнать больше об изложенных в книге темах. Я буду указывать только название и автора. Полное библиографическое описание имеется в списке литературы.
Существует много хороших справочников по истории математики. На первое место я ставлю книгу Carl Boyer, Uta Merzbach «A History of Mathematics». Интересующимся биографиями рекомендую 18-томное издание «Dictionary of Scientific Biography». Оно содержит высококачественные биографические статьи, написанные специалистами в своей области. Более легкое чтение, правда, грешащее историческими неточностями, — написанная в 1937 году классическая книга Eric Temple Bell «Men of Mathematics»[19]. Очень удобен онлайновый ресурс John O'Connor и Edmund Robertson «MacTutor History of Mathematics Archive». Этот снабженный поисковым аппаратом сайт содержит многочисленные биографии и другую ценную историческую информацию.
Эйлеру посвящено много ресурсов, включая ряд новых, появившихся в 2007 году, объявленном «годом Эйлера». Я рекомендую два новых издания: «The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work» под редакцией William Dunham и «Leonhard Euler: Life, Work and Legacy» под редакцией Robert Bradley и Edward Sandifer. Собрание сочинений Эйлера в 76 томах вышло в серии Opera Omnia, а большая часть его работ доступна на сайте Dominic Klyve и Lee Stemkoski «Euler Archive». Полный перевод на английский язык статьи Эйлера «Demonstratio Nonnullarum Insignium Proprietatum Quibus Solida Hedris Planis Inclusa Sunt Praedita», выполненный Крисом Франсезе, доступен на сайте Euler Archive.
Дополнительные сведения о многогранниках имеются в книге Peter Cromwell «Polyhedra». Там можно найти многие из затронутых в книге тем. В этой замечательной книге Кромвелл излагает как историю, так и теорию многогранников.
Авторитетное обсуждение развития формулы Эйлера приведено в книге Imre Lakatos «Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery»[20]. В этой классической работе Имре Лакатос, специализирующийся на философии математики, использует формулу Эйлера и многочисленные доказательства, исключения и обобщения, чтобы представить свою точку зрения на математическое открытие. Подробные сноски, имеющиеся в этой книге, оказались мне очень полезны.
Об истории и содержании утраченной рукописи Декарта «Об элементах геометрических тел» можно прочитать в статье P. J. Federico «Descartes on Polyhedra: A Study of the De Solidorum Elementis». Помимо комментариев, она включает репродукции копии Лейбница с заметок Декарта и их перевод на английский язык.
Что касается теории графов, то нет лучшего чтения, чем изумительные книги и статьи Робина Уилсона с соавторами. По истории теории графов см. Norman Biggs, Keith Lloyd, and Robin Wilson «Graph Theory, 1736–1936». Это прекрасно написанный текст, включающий переводы многих важных статей. Развенчивающий мифы рассказ о кёнигсбергских мостах имеется в статье Brian Hopkins and Robin Wilson «The Truth about Konigsberg». А захватывающее повествование о доказательстве теоремы о четырех красках — в статье Wilson «Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved».
Есть два отличных справочника по истории топологии. Один — увесистая (больше 1000 страниц) книга «History of Topology» под редакцией I. M. James, другой — чуть более короткая «A History of Algebraic and Differential Topology: 1900–1960» Жана Дьедонне (Jean Dieudonne). Оба текста написаны профессиональными математиками и предполагают достаточно высокий уровень подготовки читателя.
19
Эрик Темпл Белл. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.
20
Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967.