Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Исторически с формулой площади сферических треугольников связывается имя Жирара, а не Хэрриота. Это и понятно, потому что первым в печати появилось доказательство Жирара, опубликованное в 1629 году80. Жирар известен своим лаконичным стилем, в его доказательствах часто отсутствуют детали. Даже самому Жирару это доказательство казалось неудовлетворительным — он назвал результат «вероятным заключением»81. Двадцатью шестью годами раньше эту же теорему доказал Хэрриот, о чем Жирар не знал. Разумеется, как мы уже сказали, Хэрриот не опубликовал ни этот, ни какой-либо другой свой результат. Но и в секрете он его не держал. Его доказательство было известно современникам; британский математик Генри Бриггс (1561–1630) сообщил Кеплеру о результате Хэрриота и включил его в список великих открытий своего времени. Но нет никаких свидетельств того, что Жирару было известно о доказательстве Хэрриота.
Поскольку Хэрриот первым доказал теорему, а Жирар первым опубликовал ее, теперь этот результат называется теоремой Хэрриота-Жирара. Стоит отметить, что доказательство Херриота гораздо проще и элегантнее доказательства Жирара. Приведенное ниже рассуждение принадлежит Лежандру, но оно очень похоже на доказательство Хэрриота.
В доказательстве Жирара остроумно используется объект, называемый двуугольником (по аналогии с треугольником). Это область, ограниченная двумя большими окружностями (рис. 10.5). Две большие окружности всегда пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы. Если две окружности пересекаются под углом a с одной стороны, то и с другой стороны они тоже пересекаются под углом a. Если угол a измерен в радианах, то площадь двуугольника (на единичной сфере) равна 2a. Этот факт легко выводится из простой пропорции: площадь двуугольника относится к полной площади сферы, как угол a к 2π (что видно по рис. 10.6). Поэтому имеем
Рис. 10.5. Двуугольник на сфере
Теперь рассмотрим на единичной сфере геодезический треугольник ABC с внутренними углами a, b и c. Этот треугольник содержится в некоторой полусфере. Продолжим стороны ABC до пересечения с границей полусферы. Обозначим (см. рис. 10.7) D, E, F, G, H, I точки, в которых эти окружности пересекаются с краем полусферы.
Рис. 10.6. Сферический двуугольник (слева) и вид сверху (справа)
Рис. 10.7. Большие окружности на полусфере
В силу симметрии сферы сумма площадей областей ADE и AGH равна площади двуугольника с углом a. Иным словами, если вырезать треугольник AGH и склеить край GH с краем ED, то получится двуугольник с углом a. Из этого наблюдения мы заключаем, что
площадь(ADE) + площадь(AGH) = площадь двуугольника = 2a.
Аналогично общая площадь треугольников BFG и BDI равна площади двуугольника с углом b, а треугольников CHI и CEF — площади двуугольника с углом c. Следовательно, имеем
площадь(BFG) + площадь(BDI) = 2b
и
площадь(CHI) + площадь(CEF) = 2с.
Складывая оба равенства, получаем
[площадь(ADE) + площадь(AGH)] +
[площадь(BFG) + площадь(BDI)] +
[площадь(CHI) + площадь(CEF)] = 2a + 2b + 2с.
Внимательно взглянув на левую часть этого выражения, мы увидим, что площадь каждой области полусферы входит в сумму по одному разу, за исключением площади треугольника ABC, которая учтена трижды. Таким образом, имеем
площадь(полусферы) + 2 • площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.
Поскольку площадь полусферы равна 2π, получаем
2π + 2 • площадь(АВС) = 2a + 2b + 2с.
Изменив порядок членов и поделив на 2, приходим к окончательному выводу:
площадь(АВС) = a + b + с – π,
что и требовалось доказать.
В доказательстве формулы Эйлера, найденном Лежандром, нам понадобится следующее обобщение теоремы Хэрриота-Жирара на геодезические многоугольники с числом сторон больше 3.