Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
В 1649 году, после многократных приглашений на протяжении трех лет, пятидесятитрехлетний Декарт согласился приехать к шведской королеве Кристине и давать ей уроки философии. Королева настояла, чтобы пятичасовые занятия, по три раза в неделю, начинались в пять утра и проходили в необычайно холодной комнате (та зима была самой холодной за шестьдесят лет).
Эти занятия ранним утром вынудили Декарта отказаться от давней привычки проводить утренние часы в постели. Тяжелые условия, вероятно, подкосили и без того хрупкое здоровье Декарта. 1 февраля 1650 года, спустя всего несколько месяцев после приезда в Швецию, он подхватил воспаление легких. Он отказался от услуг врача Кристины, предпочтя собственный рецепт — смесь вина и табака, благодаря которой он отхаркивал быстро скапливающуюся мокроту. Лечение оказалось неэффективным. Декарт умер 11 февраля 1650 года.
Его друг, посол Франции Гектор-Пьер Шаню, взял на себя труд доставить личные вещи Декарта в Париж, где они должны были храниться у зятя Шаню, Клода Клерселье. Но корабль потерпел крушение в Сене, и весь груз попал в реку. Все вещи Декарта, включая чемодан с многочисленными заметками и рукописями, уплыли. По счастью, через три дня чемодан был найден. Бумаги аккуратно разобрали и развесили сушиться, как белье в прачечной.
Став обладателем бумаг Декарта, Клерселье начал публиковать их. Он также предоставил документы в распоряжение ученых для исследования. Одним из математиков, заинтересовавшихся побывавшими в воде заметками Декарта, был Лейбниц. Во время одной из своих поездок в Париж Лейбниц снял копии некоторых заметок Декарта о многогранниках, датируемых приблизительно 1630 годом. Эти важные заметки теперь называются «De solidorum elementis» (Об элементах геометрических тел).
Клерселье умер в 1684 году, через восемь лет после посещения Лейбница, не успев опубликовать часть рукописей, в т. ч. и «Об элементах геометрических тел». Оригинала больше никто не видел. Копия, принадлежавшая Лейбницу, пропала, и двести лет о ней не было ни слуху ни духу. Не будь на то воли провидения, мы никогда не узнали бы о прозорливой работе Декарта по многогранникам.
Фуше де Карейль, изучавший наследие Декарта в XIX веке, знал из писем Лейбница о том, что тот скопировал пропавшие впоследствии рукописи Декарта. В 1860 году он искал эти документы в хорошо организованном собрании трудов Лейбница в Ганноверской королевской библиотеке, но не нашел. Однако фортуна оказалась к нему благосклонна, и он обнаружил пыльную кипу неизвестных и некаталогизированных бумаг, принадлежащих Лейбницу, в каком-то позабытом шкафу. Именно в этой кипе де Карейль отыскал копию работы «Об элементах геометрических тел».
Как и все изучавшие многогранники до него, Декарт принял метрический подход. Во многих его формулах встречаются величины углов. Но, в отличие от своих предшественников, он, как и Эйлер сто лет спустя, подошел к многогранникам с комбинаторной точки зрения: он подсчитывал признаки многогранника и выводил алгебраические соотношения между ними. Если Эйлер считал вершины, ребра и грани и обнаружил формулу V – E + F = 2, то Декарт считал вершины (которые, как и Эйлер, называл телесными углами), грани и плоские углы.
В своих заметках Декарт привел много фактов, касающихся многогранников. Он не дал полных доказательств, но нетрудно видеть, как одни формулы логически вытекают из других. Первая важная теорема обобщала на многогранники хорошо известный для многоугольников результат: сумма внешних углов равна 360°. Мы подробно обсудим этот результат, который теперь называется формулой Декарта, в главе 20. Он также дал, вероятно, первое алгебраическое доказательство того, что платоновых тел всего пять.
Завершалась работа следующим равенством, связывающим количество граней, вершин и плоских углов (соответственно F, V и P):
P = 2F + 2V – 4.
Именно из-за этого открытия некоторые ученые считают, что формула Эйлера должна носить имя Декарта. Нужно просто заметить, что число плоских углов многогранника в два раза больше числа ребер (например, у куба 24 плоских угла и 12 ребер). Поэтому если имеется E ребер, то плоских углов будет P = 2E. Подстановка 2E вместо P дает 2E = 2F + 2V – 4. Осталось поделить на два, изменить порядок членов — и мы получим знакомую формулу для многогранников.