Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Город расположен в развилке реки, а посередине реки, близ развилки, находится остров Кнайпхоф. Во времена Эйлера реку пересекало семь мостов, соединяющих берега и остров (рис. 11.2). Говорят, что жители Кёнигсберга на досуге гуляли по городу и развлекались, пытаясь пройти по каждому мосту ровно один раз. Но никому не удавалось найти такой маршрут. Вот из этого времяпрепровождения и возникла задача о кёнигсбергских мостах:
Может ли пешеход обойти все семь мостов, не проходя ни по какому дважды?
Неизвестно, как Эйлер узнал об этой задаче. Быть может, он услыхал о ней от своего друга Карла Элера, мэра прусского города Данцига, который переписывался с Эйлером от имени местного профессора математики. У нас имеются письма Эйлера и Элера за период с 1735 по 1742 год, и в некоторых из них обсуждается задача о кёнигсбергских мостах. Мы знаем, что поначалу Эйлер ей не заинтересовался. В 1736 г. в письме к Элеру Эйлер пишет:
Следовательно, Ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне не понятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике85.
Но в конце концов Эйлер уделил этой задаче некоторое время. Та самая особенность, которая сначала оттолкнула его, затем пробудила интерес: задача действительно не укладывалась ни в какую из существующих математических дисциплин. Он понял, что хотя задача казалась геометрической, точные расстояния в ней не играли роли. Нужна была только информация о взаимном расположении.
Рис. 11.2. Семь кёнигсбергских мостов
В другом письме, датированном 1736 годом, к итальянскому математику Джованни Маринони (1670–1755) Эйлер писал:
Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. Поэтому мне пришла в голову мысль, не относится ли она случайно к геометрии положения, которую в свое время исследовал Лейбниц86.
В этом письме Эйлер употребил предложенный Лейбницем термин geometriam situs, или «геометрия положения». Позже он превратился в analysis situs (анализ положения) и, наконец, в топологию. Лейбниц имел в виду новый раздел математики, в котором «изучалось положение, как алгебра изучает величины»87. Среди ученых нет согласия по вопросу о том, правильно ли Эйлер понял, что разумел Лейбниц под этим термином; тем не менее Эйлер был согласен с Лейбницем, что для изучения этой ситуации необходим новый математический подход.
В 1736 году Эйлер представил Санкт-Петербургской академии статью «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» («Решение задачи, относящейся к геометрии положения»)88, опубликованную в 1741 году. В ней он решил задачу о кёнигсбергских мостах и в свойственной ему манере обобщил решение на любое расположение мостов.
Эйлер понял, что в этой задаче важны только относительные положения частей суши и соединяющих их мостов. На рисунке эту ситуацию можно показать просто и элегантно. Поместим вершину в каждую часть суши (по одной на трех берегах и еще одну на острове) и проведем между каждой парой вершин столько ребер, сколько имеется мостов, соединяющих соответствующие части суши. Результирующий граф показан на рис. 11.3.
Рис. 11.3. Граф, ассоциированный с задачей о кёнигсбергских мостах
Таким образом, задача свелась к задаче о графе — можно ли начертить этот граф, не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же ребру? Глядя на пример, мы можем сформулировать более общий вопрос: как узнать, можно ли начертить заданный граф таким образом?
Часто думают, что граф кёнигсбергских мостов, показанный на рис. 11.3, приведен в статье Эйлера. Это ошибка — там нет ни кёнигсбергского, ни какого другого графа. Принципы вычерчивания графов развивались независимо от задачи о кёнигсбергских мостах. Головоломки на эту тему появились в начале XIX века как в математических статьях, так и в книгах по развлекательной математике. И лишь в 1892 году У. У. Роуз Болл (1850–1925) в своей популярной книге «Математические задачи и развлечения»89установил связь между результатом Эйлера о кёнигсбергских мостах и вычерчиванием графов. Впервые кёнигсбергский граф появился в книге Болла спустя сто пятьдесят с лишним лет после публикации статьи Эйлера.