Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
И последнее замечание о доказательстве Лежандра. В подходе Эйлера мы осторожно (осторожнее, чем сам Эйлер) применяли формулу только к выпуклым многогранникам. Как и Эйлер, Лежандр предполагал, что многогранники выпуклые. Но в приложении к статье 1809 года Луи Пуансо (1777–1859) заметил, что доказательство Лежандра применимо к несколько более широкому классу тел — звездным многогранникам82.
Первым шагом в доказательстве Лежандра было проецирование многогранника на сферу. Для этого нам нужна внутренняя точка x, являющаяся центром проекции. Эта точка должна обладать тем свойством, что из нее «видна» любая точка многогранника. Для выпуклого многогранника мы можем выбрать любую внутреннюю точку. В большинстве же невыпуклых многогранников такой точки нет, а те, в которых она есть, называются звездными (или звездчатыми). Многогранник Кеплера, показанный на рис. 6.6, — пример звездного многогранника, как и те, что показаны на рис. 10.12. В каждом из них существует внутренняя точка, из которой «видно все» и которая, следовательно, может быть выбрана в качестве центра проекции. Пуансо объяснил это следующим образом:
[Формула Эйлера] остается верной для любого многогранника с входящими телесными углами, при условии что внутри тела можно найти точку, являющуюся центром сферы такой, что когда на нее проецируются грани тела с помощью прямых, исходящих из центра, то их проекции на сфере не пересекаются; я хочу сказать, что никакая грань, полностью или частично, не проецируется на проекцию другой грани. Как легко видеть, это условие применимо к бесконечному числу многогранников с входящими телесными углами. Истинность этого утверждения легко устанавливается из самого доказательства г-на Лежандра, в которое не нужно вносить никаких изменений83.
Рис. 10.12. Звездные многогранники
Рис. 10.13. Луи Пуансо
Благодаря Лежандру к концу XIX века под формулу Эйлера было подведено прочное основание для всех выпуклых многогранников, а его популярный учебник раскрыл красоту этой формулы широкой аудитории. В последующие годы Пуансо и другие авторитетные математики были заворожены этим элегантным соотношением. Они искали новые доказательства и дальнейшие обобщения. Чтобы понять некоторые из этих обобщений, нам предстоит познакомиться с теорией графов. Истоки этой дисциплины восходят — неудивительно — к Эйлеру и математической головоломке о мостах города Кёнигсберга.
Приложения к главе
77. Albers (1994).
78. Lohne (1972).
79. Quoted in Itard (1972).
80. Girard (1629).
81. Quoted in Itard (1972).
82. Poinsot (1810).
83. Poinsot (1810).
Глава 11
Прогулка по Кёнигсбергу
Что толку возвращаться по старым следам? Аспид обитает на тропе, которую вы протоптали собственными ногами. Нужно прокладывать пути в Неведомое.