Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Почти полторы тысячи лет никто не пытался уточнить утверждение Менелая о сумме внутренних углов. И лишь в XVII веке сразу два человека, Томас Хэрриот (ок. 1560–1621) и Альбер Жирар (1595–1632), количественно выразили сферический избыток суммы углов.
На рис. 10.4 мы видим, что существует прямая связь между площадью треугольника и суммой внутренних углов. Чем больше размер треугольника, тем сильнее искажение вследствие кривизны, поэтому сумма углов возрастает.
Рис. 10.4. Геодезические треугольники на сфере
Теорема Хэрриота и Жирара дает формулу, связывающую три величины: сумму внутренних углов геодезического треугольника, площадь треугольника и радиус содержащей его сферы. Для простоты мы приведем формулу для треугольников на единичной сфере радиуса 1 (формула для сферы произвольного радиуса получается путем соответственного масштабирования величин).
Поскольку сумма внутренних углов плоского треугольника равна π, мы можем записать эту формулу по-другому:
площадь = (сумма углов) – (сумма углов плоского треугольника).
Таким образом, площадь сферического треугольника — это как раз та величина, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского треугольника. Как мы увидим, эта примечательная формула обобщается на сферические многоугольники с числом сторон больше трех. Кстати, это первый конкретный пример, показывающий, почему углы удобнее измерять в радианах; формула перестает быть верной, если углы измерены в градусах.
Для разогрева убедимся, что эта теорема верна для большого геодезического треугольника на рис. 10.4 (в предположении, что сфера единичная). Мы можем покрыть всю сферу восемью такими треугольниками — четыре в северной полусфере и четыре в южной. Поэтому площадь треугольника равна одной восьмой площади сферы. Поскольку площадь сферы радиуса r равна 4πr2, то площадь единичной сферы (г = 1) равна 4π. Следовательно, площадь треугольника равна одной восьмой от 4π, или π/2.
Легко проверить, что теорема Хэрриота-Жирара дает тот же результат. Сумма трех внутренних углов этого треугольника равна 3π/2. Поэтому, согласно теореме, площадь треугольника равна (3π/2) – π = π/2, что совпадает с предыдущим вычислением.
Это соотношение было независимо открыто Хэрриотом и Жираром. Британский ученый Томас Хэрриот — личность загадочная. Он был талантливым и активным исследователем, но никогда не публиковал своих работ. После его смерти осталось десять тысяч страниц неопубликованных рукописей, диаграмм, измерений и вычислений. Один биограф писал, что отвращение Хэрриота к публикации «во многом можно объяснить неблагоприятными внешними условиями, проволочками и нежеланием публиковать трактат, если, как он думал, его еще можно улучшить»78. Многие его статьи были напечатаны посмертно. Больше всего он известен работами по алгебре, но занимался также оптикой, астрономией, химией и лингвистикой. Хэрриот, подобно Лейбницу и Эйлеру, снискал репутацию автора новой и элегантной математической нотации. К сожалению, из-за трудностей типографского набора нестандартных символов не все его идеи представлены в печатном виде и потому не получили широкого признания. Но два символа дошли до наших дней: < (меньше) и > (больше). Очень мало известно о личной жизни Хэрриота. В 1585 г. сэр Уолтер Рэйли отправил его в годичное путешествие в Новый Свет в качестве землемера и картографа. Так что, по-видимому, он был первым профессиональным математиком, ступившим на землю Северной Америки.
Французский математик Альбер Жирар обосновался в Голландии, скорее всего, потому что, будучи протестантом, не мог жить в отчем доме во французской Лотарингии. Сегодня он известен своими работами по алгебре и тригонометрии. Он первым стал использовать сокращения sin, tan и sec для тригонометрических функций синус, тангенс и секанс, а также символ ∛ для обозначения кубического корня. Также Жирар первым из математиков придал геометрический смысл отрицательным числам. Он писал: «Отрицательное решение в геометрии объясняется движением в обратном направлении, а знак минус означает возврат назад, тогда как + — продвижение вперед»79.