Жемчужина Эйлера

Лежандр включил формулу Эйлера для многогранников в «Элементы геометрии», а благодаря популярности книги она получила широкую известность. Лежандр не стал исправлять доказательство Эйлера, а предложил новое — существенно отличающееся. В своем изобретательном рассуждении Лежандр воспользовался понятиями сферической геометрии и такими метрическими свойствами, как величины углов и площади. Успех выглядит особенно неожиданным в свете того, что в самой формулировке теоремы этих понятий нет.

Ключ к доказательству Лежандра — элегантная формула из сферической геометрии, которая выражает площадь треугольника на поверхности сферы через три его внутренних угла. На сфере треугольники и другие многоугольные фигуры образованы не прямыми линиями, а дугами больших окружностей. Большой окружностью называется любая окружность на сфере, радиус которой равен радиусу сферы, или, эквивалентно, любая окружность максимально возможного радиуса. Примерами больших окружностей являются экватор и меридианы. Параллели, отличные от экватора, например тропик Рака, тропик Козерога, Полярный круг, не являются большими окружностями. Большие окружности — не прямые, но настолько близки к прямым, насколько это возможно на сфере. Они обладают важным свойством — дают путь минимальной длины. То есть кратчайшим путем между двумя точками на сфере является дуга проходящей через них большой окружности. Если оставить в стороне физические условия, в частности ветер и вращение Земли, то кратчайший маршрут самолета из Пенсильвании в Индию должен был бы пролегать по дуге большой окружности, проходящей через Исландию.

На практике для нахождения больших окружностей на малой сфере можно использовать ленту (рис. 10.2). Возьмите ленту, например такую, которой перевязывают подарочные коробки, и положите ее на сферу. Оберните ленту вокруг сферы, так чтобы она лежала плоско и не морщила по бокам. Тогда лента покажет, где находится большая окружность.

Рис. 10.2. Чтобы найти большую окружность, нужно обмотать сферу лентой