Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Сумма внутренних углов любого плоского π-угольника равна (n – 2)π. (Мы более пристально рассмотрим эту теорему и ее обобщения в главе 20.) Поэтому, как и в случае треугольников, площадь геодезического многоугольника просто равна величине, на которую сумма его углов превышает сумму углов плоского многоугольника с таким же числом сторон. То есть
площадь = (сумма углов) – (сумма углов плоского n-угольника).
Чтобы понять, почему эта теорема верна, разобьем многоугольник на геодезические треугольники, проведя диагонали. При таком разбиении получается n – 2 треугольника (рис. 10.8). Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника, а сумма их углов равна сумме углов многоугольника. Применив теорему Хэрриота-Жирара ко всем n – 2 треугольникам и просуммировав левые и правые части, находим площадь многоугольника:
площадь = а1 + ... + an – (n – 2)π = а1 + ... + аπ – nπ + 2π.
Запомнить эту формулу просто. Изобразим многоугольник, как показано на рис. 10.9. Рядом с каждым углом напишем его величину, рядом с каждым ребром –π, а в центре 2π. Площадь многоугольника равна сумме этих величин. Это наглядное представление окажется полезным для понимания доказательства Лежандра.
Рис. 10.8. Сферический многоугольник, разбитый на треугольники
Рис. 10.9. Площадь сферического многоугольника равна сумме величин на рисунке
Вот теперь, наконец, мы готовы привести рассуждение Лежандра. Начнем с выпуклого многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Пусть x — произвольная точка внутри него. Как показано на рис. 10.10, построим сферу с центром в x, внутри которой целиком заключен многогранник. Поскольку конкретные единицы измерения не имеют значения, мы можем выбрать их так, что радиус сферы будет равен единице. Спроецируем многогранник на сферу, проведя лучи, исходящие из точки x. Чтобы наглядно представить себе эту проекцию, можно рассмотреть проволочную модель многогранника и поместить в x лампочку. Тогда проекцией будет тень проволочного каркаса на поверхности объемлющей сферы. Мы не станем доказывать этот факт, а просто отметим, что в этом случае грани многогранника отображаются в геодезические многоугольники.
В своем доказательстве Лежандр использовал стандартный математический прием. Он вычислил одну и ту же величину — в данном случае площадь единичной сферы — двумя разными способами, установив тем самым некое равенство. Сначала он воспользовался хорошо известным фактом — площадь единичной сферы равна 4π. А затем он сложил площади всех граней на сфере, которые в сумме, естественно, составляют полную площадь поверхности.
Рис. 10.10. Проекция многогранника на сферу
По теореме Хэрриота-Жирара, площадь каждой π-угольной грани равна сумме внутренних углов минус nπ – 2π. Вместо того чтобы работать с этой формулой непосредственно, мы воспользуемся наглядным представлением на рис. 10.9. Пометим все углы, ребра и грани на сфере — рядом с каждым углом поместим его величину, рядом с каждым ребром –π, а в центре каждой грани 2π. В результате получится картина, изображенная на рис. 10.11. Чтобы вычислить площадь сферы, просуммируем величины всех меток.
Рис. 10.11. Проекция с метками
Хотя сумма углов при любой вершине многогранника меньше 2π, после проецирования на гладкую поверхность сферы эти углы в сумме дают 2π. Поскольку всего вершин V, они вносят в сумму вклад 2πV. Каждое ребро вносит вклад –2π: –π с одной стороны и –π с другой. Поскольку всего ребер E, их общий вклад составляет –2πЕ. В середине каждой грани находится метка 2π. Поскольку всего граней F, они привносят в сумму величину 2πF. Складывая все вместе, находим, что полная площадь сферы равна
4π = 2πV – 2πЕ +2πF.
Поделив на 2π, получаем формулу Эйлера:
2 = V – E + F.
Сразу видно, что доказательства Эйлера и Лежандра совершенно разные. С одной стороны, кажется, что доказательство Эйлера «правильное» или, по крайней мере, соответствует духу теоремы. Теорема комбинаторная, и Эйлер дал комбинаторное доказательство. Эйлер напрямую использовал связь между вершинами, ребрами и гранями. При удалении вершины для компенсации добавляются или удаляются грани и ребра, так что знакопеременная сумма не изменяется.
С другой стороны, Лежандр для доказательства теоремы ввел понятия, на первый взгляд совершенно с ней не связанные: сферы, углы и площадь. Его подход совершенно законный и весьма остроумный, но из него не видно, почему теорема справедлива, — по крайней мере, не сразу. Тем не менее доказательство Лежандра — первый намек на то, что это нечто большее, чем просто комбинаторная теорема. Тот факт, что мы можем доказать теорему, используя метрическую геометрию, наводит на мысль о важной связи между формулой Эйлера и геометрией. Мы вернемся к этой теме в главах 20 и 21.