Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Идея первой модели Солнечной системы пришла Кеплеру 9 июля 1595 года, когда он читал лекцию в заполненном студентами зале. В то время все считали правильной геоцентрическую (с Землей в качестве центра) модель Птолемея. За полвека до этого Николай Коперник (1473–1543) приводил аргументы в пользу гелиоцентрической (с Солнцем в центре) модели, но, по различным причинам, большинство интеллектуалов ее отвергло.
Рис. 6.3. Мраморная инкрустация Уччелло (слева вверху), одна из интарсий Фра Джованни (справа вверху) и работы Венцеля Ямницера
Рис. 6.4. Иоганн Кеплер
В один прекрасный день, когда Кеплер чертил многоугольники, вписанные в окружности, его посетила мысль, что в этом, возможно, и состоит секрет орбит планет: что, если орбиты — это вложенные друг в друга окружности, вписанные в различные многоугольники, с Солнцем в центре? Проведя лето за скрупулезной проработкой деталей, он пришел к выводу, что эта модель Солнечной системы неправильна. Но он не отбросил ее целиком, а переработал и создал другую модель, которая нравилась ему больше. Новая модель была описана в его первой книге «Mysterium Cosmographicum» (Тайна мироздания), вышедшей в 1596 году49.
Кеплер осознал, что многоугольники и окружности — неподходящие объекты для модели Солнечной системы, он перешел в следующее измерение и стал рассматривать многогранники и сферы. Он считал, что существование пяти платоновых тел должно быть как-то связано с существованием шести известных планет: Сатурна, Юпитера, Марса, Земли, Венеры и Меркурия. Он утверждал, что орбиты планет соотносятся с вложенностью пяти платоновых тел, вписанных в сферы. Возьмем сферу такую, что орбита самой дальней планеты, Сатурна, проходит по ее экватору. Впишем в эту сферу куб, а в куб другую сферу. По экватору этой сферы, полагал Кеплер, проходит орбита Юпитера (см. рис. 6.5). Продолжая таким же образом (тетраэдр, сфера, додекаэдр, сфера, икосаэдр, сфера, октаэдр, сфера), мы найдем орбиты всех шести планет. Кеплер писал:
То была причина и следствие моих трудов. Невозможно выразить словами, сколь велика была моя радость от этого открытия. Я больше не жалел о потраченном времени. Денно и нощно был я поглощен вычислениями, дабы понять, согласуется ли эта идея с коперниковыми орбитами или мою радость развеет ветер. Через несколько дней я убедился, что все правильно, и наблюдал, как одно тело за другим занимает свое законное место среди планет50.
Рис. 6.5. Ранние представления Кеплера о Солнечной системе (из «Тайны мироздания»)
Таким образом, Кеплер стал профессиональным астрономом, который публично, в печати выступил в поддержку модели Коперника. В то время даже Галилей (1564–1642), который был старше Кеплера на шесть лет, хранил молчание по этому поводу.
Первая часть «Тайны мироздания» наполнена мистикой — Кеплер погружается в пучины астрологии, нумерологии и символики. Он приводит подробные ненаучные обоснования правильности своей модели Солнечной системы. Он видит очень четкую иерархию платоновых тел. Например, он делит их на первичные (тетраэдр, куб и додекаэдр) и вторичные (октаэдр и икосаэдр). Первичные отличаются тем, что в каждой вершине сходится три грани. Он утверждает, что «включать — более совершенное отношение», чем быть включенным51; в его модели первичные тела являются внешними многогранниками, а вторичные — внутренними, причем орбита Земли расположена посередине между двумя классами.
Но во второй части книги он делает резкий поворот в сторону научной аргументации, подкрепленной астрономическими данными. Чтобы согласовать теорию с данными, он внес несколько изменений в модель. Он еще не знал, что орбиты планет эллиптические, но знал, что они не круговые. Поэтому, чтобы вместить планеты, сферы в его модели должны были иметь некоторую толщину; даже если планета обращается не по круговой орбите, она все равно остается внутри сферической оболочки. Модель Кеплера на удивление точна, однако он понимал, что данные все-таки не идеально укладываются в модель (особенно орбиты Юпитера и Меркурия). Поэтому он изыскивал различные способы объяснить расхождения, например недоверие к используемым данным (полученным от Коперника).
Впоследствии Кеплер убедился, что его прототип Солнечной системы неправилен. Он писал: «Должен признать, что глава астрономии отсечена»52. Просеяв гигантский объем данных об орбите Марса, доставшихся ему от астронома Тихо Браге (1546–1601), Кеплер вывел истинное движение планет. Совершая один из величайших подвигов в истории науки, он использовал эти данные для открытия трех законов движения планет (первые два в 1609-м, третий в 1619 году). Через тридцать лет после его смерти эти законы были математически подтверждены Исааком Ньютоном. Интересно, что, несмотря на ложные утверждения в «Тайне мироздания», многие из этих безумных идей содержали зерно истины. Некоторые из важнейших научных достижений Кеплера восходят к, казалось бы, бессмысленным идеям, изложенным в этой книге.