Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Главный вклад в теорию многогранников Кеплер внес уже в конце своей карьеры в работе «Harmonice Mundi» (Гармония мира), опубликованной в 1619 году53. Этот трактат состоит из пяти частей, первые две посвящены математике. Он заново открыл все тринадцать архимедовых тел и доказал, что других не существует. Он представил класс многогранников, названных антипризмами. Он также обнаружил два звездных многогранника, которые сегодня известны под названиями большой и малый звездный додекаэдр (рис. 6.6). Он называл многогранники этого вида эхин, что означает морской еж. Позже мы вернемся к этим звездным многогранникам и увидим, что их можно рассматривать как правильные многогранники и что для них формула Эйлера не имеет места.
Даже на этом, позднем этапе своей карьеры Кеплера очаровывали платоновы тела. Он был приверженцем греческой теории четырех элементов и платоновой теории, утверждавшей, что элементы состоят из платоновых тел. Следует иметь в виду, что «Гармония мира» была опубликована за 42 года до революционного текста Бойля «Скептический химик». В «Гармонии мира» Кеплер использовал идеи Платона и Аристотеля наряду с собственными ненаучными аргументами, чтобы обосновать связь четырех элементов с платоновыми телами.
Рис. 6.6. Рисунки звездных многогранников, выполненные Кеплером (из книги «Гармония мира»)
Он утверждал, что поскольку куб можно положить на стол, так что его нелегко вывести из равновесия, он представляет собой наиболее устойчивое из платоновых тел; стало быть, это должна быть земля. Октаэдр, удерживаемый двумя пальцами, легко вращается; следовательно, он самый неустойчивый и должен соответствовать воздуху. Тетраэдр занимает наименьший объем при заданной площади поверхности, поэтому он самый сухой из пяти, т. е. соответствует огню. А икосаэдр занимает наибольший объем при заданной площади поверхности, стало быть, он самый мокрый и должен быть водой. Кеплер видел связь между двенадцатью гранями додекаэдра и двенадцатью знаками Зодиака, поэтому он утверждал, что додекаэдр является образом Вселенной. Соответствие между элементами и платоновыми телами можно наблюдать на знаменитой иллюстрации Кеплера, воспроизведенной на рис. 6.7.
Рис. 6.7. Рисунки платоновых тел, выполненные Кеплером (из «Гармонии мира»)
В «Гармонии мира» мы снова видим раздвоение между склонностью Кеплера к мистике и его блестящим научным мышлением. В этой работе он высказывает ошибочные утверждения относительно атомистической теории, но также делает важное наблюдение о платоновых телах. Он обратил внимание на антисимметричную связь между октаэдром и кубом и между додекаэдром и икосаэдром, а также на автосимметрию тетраэдра. Из табл. 6.1 мы видим, что у куба и октаэдра по 12 ребер. Количество граней куба (6) равно количеству вершин октаэдра, а количество вершин куба (8) равно количеству граней октаэдра. Такое же зеркальное соотношение существует между додекаэдром и икосаэдром: у обоих по 30 ребер, у икосаэдра 20 граней, а у додекаэдра 20 вершин, у икосаэдра 12 вершин, а у додекаэдра 12 граней. Для тетраэдра нет парного правильного многогранника, но зато у него столько же граней, сколько вершин, поэтому он образует пару с самим собой.
Кеплер предложил физическую интерпретацию этой антисимметрии. Возьмем какой-нибудь правильный многогранник, например куб. Поместим новую вершину в центр каждой грани. Эти восемь точек образуют вершины октаэдра. Полученный многогранник называется двойственным исходному. На рис. 6.8 мы видим иллюстрацию Кеплера, показывающую, что октаэдр двойствен кубу. Заметим, что каждая грань куба соответствует вершине октаэдра, поэтому число граней куба равно числу вершин октаэдра. Присмотревшись более внимательно, мы увидим, что каждому ребру октаэдра можно сопоставить перпендикулярное ему ребро куба, поэтому оба многогранника имеют одинаковое число ребер. Кроме того, каждой вершине куба соответствует грань октаэдра, поэтому число тех и других одинаково. Таким способом мы устанавливаем зеркальную связь, показанную в табл. 6.1.