Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
«Начала» — самая ранняя из созданных греками крупных математических работ, дошедшая до нас. Она многократно переписывалась вручную, пока в 1482 году в Венеции не вышла первая печатная версия. С тех пор она переиздавалась примерно тысячу раз.
Большая часть тринадцатой, последней, книги «Начал» посвящена платоновым телам. Некоторые историки считают, что остальные двенадцать книг были написаны только для приготовления читателя к последней книге. Как мы уже говорили, доказательства, приведенные в книге XIII, скорее всего, принадлежат не Евклиду, а Теэтету. Некоторые ученые полагают, что Евклид воспроизвел работу Теэтета вообще без правки41.
Самый важный вклад книги XIII — доказательство того, что существует пять и только пять платоновых тел. Сначала Евклид показывает, что имеется по крайней мере пять платоновых тел — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Затем он доказывает, что их не может быть больше пяти. Для решения первой задачи Евклид описывает точный порядок построения каждого из пяти платоновых тел, т. е. строит их внутри сферы. Мы не будем здесь повторять построения Евклида, но представим его доказательство отсутствия других правильных тел. А впоследствии дадим другое доказательство этой теоремы, основанное на формуле Эйлера.
В своем доказательстве Евклид пользуется одним свойством плоских углов. Плоским называется угол грани многогранника (в кубе имеется 24 плоских угла, равных 90°). В книге XI Евклид доказал, что сумма плоских углов при любой вершине выпуклого многогранника меньше 360°. Мы опускаем доказательство, но из рисунка легко видеть, почему это утверждение верно. если взять грани, сходящиеся в любой вершине выпуклого многогранника, и развернуть их на плоскость (для этого нужно произвести разрез вдоль одного ребра), то окажется, что грани не перекрываются и никакие два ребра не пересекаются (рис. 5.2). Это возможно, только если сумма плоских углов строго меньше 360°.
Рис. 5.2. Развертки выпуклых многогранников (слева и в центре) и для сравнения развертка невыпуклого многогранника (справа)
Теперь рассмотрим правильный многогранник. Каждая его грань — правильный n-угольник, а в каждой вершине сходятся m ребер. Поскольку каждая грань должна иметь по меньшей мере три стороны, то n ≥ 3, а поскольку в каждой вершине сходится не менее трех ребер, то m ≥ 3. Все углы каждой грани равны, обозначим их общую величину θ. В каждой вершине сходится m граней, и каждая привносит плоский угол θ. Из теоремы Евклида следует, что mθ должно быть меньше 360°. При каких m и n это возможно?
При n = 3 грани — равносторонние треугольники, так что θ = 60° (внутренний угол правильного n-угольника равен 180°(n-2)/n). Мы знаем, что mθ < 360°, поэтому m(60°) < 360°, или m < 6. Следовательно, m может быть равно только 3, 4, 5 (см. рис. 5.3). Этим значениям m соответствует тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.
Рис. 5.3. Пять возможных вершин платоновых тел в развернутом и объемном виде
При n = 4 грани — квадраты, так что θ = 90°. Отсюда следует, что m(90°) < 360° или m < 4. Стало быть, единственная возможность m = 3, и мы получаем куб.
При n = 5 грани — правильные пятиугольники и θ = 108°. Следовательно, m(108°) < 360°, или m < 10/3. Это значит, что m = 3, и мы получаем додекаэдр.
При n = 6 грани — правильные шестиугольники и θ = 120°. Но неравенство m(120°) < 360° означает, что m < 3, что невозможно. Поэтому правильного многогранника с шестиугольными гранями не существует. Точно так же обстоит дело при n > 6. Следовательно, никаких других платоновых тел нет.
Рис. 5.4. Это невыпуклое платоново тело?
При внимательном изучении доказательства выясняется, что Евклид упустил из виду некоторые тонкие детали. В частности, он не исключил возможности существования двух различных многогранников, составленных из правильных n-угольников и таких, что в каждой вершине сходится m граней. Например, быть может, существует многогранник, отличный от икосаэдра, образованный равносторонними треугольниками, сходящимися по пять в каждой вершине. Евклид неявно предполагал, что такое невозможно. Евклид оказался прав в предположении выпуклости, но без него это уже не так. На рис. 5.4 мы видим невыпуклый многогранник с такими же свойствами, как у икосаэдра, — он состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся по пять в каждой вершине. Единственное отличие в том, что одна вершина вдавлена внутрь, так что многогранник невыпуклый.
Такие пары многогранников, как икосаэдр и невыпуклый икосаэдр, показанный на рис. 5.4, называются стереоизомерами (термин заимствован из химии). Они составлены из одного и того же набора граней, соединенных вдоль одних и тех же ребер.