Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
Автор книги повествует о примечательной формуле Эйлера для многогранников, прослеживая ее историю от древнегреческой геометрии до совсем недавних исследований, а также о многообразном ее влиянии на топологию – науку об изучении формы. В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты. Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Иоганн Кеплер — одна из выдающихся переломных фигур в истории науки: его ум был наполовину поглощен средневековыми фантазиями, но другая половина вынашивала начатки математической науки, сформировавшей современный мир.
— Джордж Симмонс46
Пока арабы развивали математику, Европа погрузилась во мрак Средневековья. Лишь очень немногие европейцы получали формальное образование; великие работы классической античности были почти забыты; ученых-математиков почти не было. В монастырях обучали лишь простейшим основам геометрии и арифметики. В течение 400 лет корпус математических знаний не пополнился ничем сколько-нибудь значительным.
И только с приходом европейского Возрождения в XV веке в математике стало заметно оживление. С подъемом гуманистического движения снова возник интерес к греческим классикам — сначала к греческой литературе, а затем и к математике. Романтика греческой интеллектуальной жизни прекрасно изображена на фреске Рафаэля «Афинская школа» (1510–1511), где показано воображаемое собрание Пифагора, Евклида, Сократа, Аристотеля, Платона и других греческих ученых (рис. 6.1).
Важной особенностью искусства эпохи Возрождения была перспектива. Многогранники и их остовы стали отличными объектами для демонстрации мастерства владения перспективой. Такие художники, как Пьеро делла Франческа, Альбрехт Дюрер и Даниэле Барбаро, внесли вклад как в математику, так и в искусство своими сочинениями о перспективе на примере многогранников. Среди множества художников, запечатлевших многогранники на своих картинах (см. рис. 6.2 и 6.3), были Леонардо да Винчи, который иллюстрировал книгу Лука Пачоли «Божественная пропорция» (1509); Венцель Ямницер, создавший тонкие, изысканные гравюры реальных и воображаемых многогранников; Якопо де Барбари, написавший портрет Луки Пачоли с многогранником; Паоло Уччелло, который включал многогранники в свои картины и мозаики на полу собора Святого Марка в Венеции; Фра Джованни да Верона, создавший восхитительные интарсии (мозаики из дерева), и, как мы видим (рис. 6.5–6.8), Иоганн Кеплер, физик и математик.
Рис. 6.1. Рафаэль, «Афинская школа»
Подобно ученым и художникам Возрождения, жившим за двести лет до него, Кеплер был очарован многогранниками. В наши дни мы знаем Кеплера в основном как астронома, прославившегося законами движения планет (которые описывают эллиптическое движение планет вокруг Солнца), но это далеко не единственный его вклад в науку и математику. Его идеи бесконечного и бесконечно малого предвосхитили математический анализ. Он опубликовал работу по оптике. Он был одним из первых пользователей логарифмов. И Кеплер внес вклад, как реальный, так и причудливый, в теорию многогранников.
Кеплер родился 27 декабря 1571 г. в маленьком городке Вайль-дер-Штадт, земля Вюртемберг, Священная Римская империя; ныне он находится в Германии. Жизнь его складывалась очень трудно: болезненный ребенок, выросший в неблагополучной семье, подвергался преследованиям на религиозной почве; его первая жена и любимый сын умерли от оспы, мать обвинили в колдовстве, а скончался он в возрасте 58 лет на пути к императору в надежде получить хотя бы часть жалованья. Несмотря на эти трудности, Кеплер был глубоко религиозным человеком. Он собирался стать лютеранским пастором, но в двадцать три года ушел из семинарии ради должности преподавателя математики и астрономии. Религиозные верования были очень важны для него, и, как видно из его сочинений, он часто черпал в них вдохновение для научной работы. Один из биографов Кеплера, Артур Кёстлер, писал: «Это сосуществование мистического и эмпирического, необузданного полета мысли и упорных, терпеливых исследований оставалось ... главной особенностью Кеплера с юных лет до старости»47.
Рис. 6.2. Усеченный икосаэдр и пентакисдодекаэдр Леонардо да Винчи из иллюстраций к «Божественной пропорции»
Кеплер верил, что Бог создал мир, исполненный математической красоты. Конечно, Кеплер был уверен, что существование всего пяти правильных многогранников должно иметь какой-то важный смысл; очевидно, они должны быть отражены в устройстве Вселенной. Кёстлер писал: «Для Кеплера ложная вера в пять идеальных тел была не мимолетной причудой, а оставалась с ним, в измененном виде, до конца жизни, со всеми признаками параноидного бреда; и тем не менее она играла роль vigor motrix, питая его бессмертные достижения»48.
