Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
И еще остается вопрос об изгибаемости многогранников. Представим себе, что многогранник изготовлен из жестких металлических граней с шарнирными ребрами. По меньшей мере, к Эйлеру восходит гипотеза о том, что такой многогранник не может изгибаться, пусть даже все ребра шарнирные. Его форму нельзя изменить растяжением или сжатием. В 1766-м Эйлер писал, что «замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется»42. Доказать эту гипотезу важно, потому что если хотя бы один из правильных многогранников изгибаемый, то мы имели бы целое семейство стереоизомеров, а значит, бесконечное число немного различающихся правильных многогранников. Это стало бы приговором доказательству Евклида.
Как выясняется, Евклид был прав, но строгое доказательство было дано лишь спустя две тысячи лет плодовитым французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789–1857). В 1811 году Коши доказал, что любые два выпуклых стереоизомера должны быть одинаковы43. Иными словами, зная все грани выпуклого многогранника и то, какие грани соседствуют друг с другом, мы знаем точную геометрию многогранника. Из этой знаменитой теоремы, в частности, следует, что пять платоновых тел — действительно единственные правильные многогранники. Из нее же следует, что любой выпуклый шарнирный многогранник не изгибается. Этот последний факт известен под названием теоремы о жесткости выпуклых многогранников. Интересно, что предположение о жесткости не выполняется для невыпуклых шарнирных многогранников, и этот факт был установлен только в 1877 году. Американский математик Роберт Коннелли построил первый пример изгибаемого невыпуклого многогранника44.
Последний значительный вклад греков в теорию правильных тел связан с именем Архимеда из Сиракуз. Архимед ввел понятие полуправильных тел. Полуправильное тело, как и правильное, — это выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, но эти многоугольники необязательно должны быть одного типа. Кроме того, требуется, чтобы все грани с одинаковым числом сторон были конгруэнтны, а все вершины идентичны (т. е. порядок следования граней, сходящихся в каждой вершине, одинаков, и любую вершину можно повернуть так, что она совпадет с любой другой вершиной, при этом многогранник перейдет в себя). На рис. 5.5 показаны три полуправильных многогранника. Работа Архимеда утрачена, но из следующего отрывка Паппа (ок. 290–350 н. э.) мы знаем, что Архимед нашел тринадцать полуправильных тел:
Хотя можно представить себе геометрические тела с самыми разными гранями, наибольшего внимания заслуживают те, что имеют правильную форму. К ним относятся не только пять тел, найденных богоподобным Платоном. но также тела, общим числом тринадцать, открытые Архимедом и составленные из равносторонних и равноугольных, но не одинаковых многоугольников45.
Рис. 5.5. Три полуправильных многогранника Архимеда
Весь набор из тринадцати многогранников был заново открыт в 1619 году Кеплером, который не знал о работе Архимеда. Как Теэтет доказал, что пять платоновых тел — единственные правильные многогранники, так Кеплер доказал, что существует всего тринадцать полуправильных многогранников. Следует отметить, что существует бесконечно много многогранников, называемых призмами и антипризмами, которые удовлетворяют условиям полуправильности, но исторически не считаются полуправильными телами. В настоящее время полуправильные многогранники называются архимедовыми телами.
После упадка греческой цивилизации центр математической жизни переместился в Персию (современный Ирак[5]). Под покровительством монарха арабские математики перевели многие классические греческие трактаты, в т. ч. работы Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта, Паппа и Птолемея. Но они были больше, чем хранителями греческих текстов. Они создали алгебру и внесли большой вклад в теорию чисел, системы счисления и тригонометрию. Арабский период доминирования в математике продолжался приблизительно до XV столетия.
Арабские математики развили геометрию, но практически ничего не добавили к теории многогранников. Математике пришлось ждать, когда Европа выйдет из периода Средневековья, — лишь тогда интерес к многогранникам пробудился с новой силой.
Приложения к главе
38. Russell (1967), 37-38.
39. Quoted in Bulmer-Thomas (1976).
5
Так в тексте. — Прим. перев.