Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Одним из блестящих дарований Эйлера была способность консолидировать изолированные математические результаты и выстраивать теоретическую конструкцию, в которой для всего было свое место. В 1750 году он вознамерился проделать это с многогранниками. Он приступил к тому, что, как он надеялся, станет исследованием оснований теории многогранников, или, как он называл ее, стереометрии.
К тому времени теории многогранников было уже с лишком две тысячи лет, но она оставалась чисто геометрической. Математики занимались исключительно метрическими свойствами многогранников, т. е. такими, которые можно было измерить. Их интересовало нахождение длин сторон и диагоналей, вычисление площади граней, измерение плоских углов и определение объема.
Первый же шаг Эйлера шел вразрез с этой метрической традицией. Он искал способ сгруппировать, или классифицировать, все многогранники по числу их признаков. Ведь именно так мы классифицируем многоугольники: многоугольники с тремя сторонами называются треугольниками, с четырьмя сторонами — четырехугольниками и т. д.
Очень быстро выясняется, что классифицировать многогранники подобным образом трудно. Очевидного признака — числа граней — недостаточно, чтобы отличить данный многогранник от всех остальных. Как видно по рис. 7.1, многогранники с одинаковым числом граней могут быть совершенно непохожи.
Рис. 7.1. Три различных многогранника с восемью гранями
Первой блестящей идеей Эйлера было то, что поверхность любого многогранника состоит из 0-, 1- и 2-мерных компонент, а именно вершин (или телесных углов, как он их называл), ребер и граней, и что эти признаки можно подсчитать. Именно эти три величины стали стандартными характеристиками всех топологических поверхностей. Эйлер писал:
Поэтому для любого сплошного тела следует рассматривать три вида границ, а именно: 1) точки, 2) линии и 3) поверхности, или, если использовать названия специально для этой цели: 1) телесные углы, 2) ребра и 3) грани. Эти три вида границ полностью определяют тело57.
Невозможно переоценить важность этого осознания. Как ни странно, пока Эйлер не придумал имя, никто явно не упоминал ребра многогранника. Эйлер, писавший по-латыни, употребил слово acies, означающее «ребро». На «вульгарной латыни» acies использовалось для обозначения острой кромки оружия, луча света или армии, построившейся для битвы. Поименование этого очевидного признака может показаться тривиальным делом, но это не так. В этом заключалось осознание того ключевого факта, что одномерное ребро многогранника — существенное понятие.
Для граней многогранника Эйлер использовал устоявшийся термин hedra, который, как мы уже говорили, переводится как «грань» или «основание». Вершины многогранника Эйлер называл angulus solidus, или телесный угол. До того как Эйлер стал писать о многогранниках, телесным углом называлась трехмерная область, ограниченная гранями, сходящимися в одной точке. Телесный угол куба отличается от телесного угла тетраэдра; они различаются геометрией ограничиваемой ими области. Из приведенного выше описания — согласно которому Эйлер ассоциировал телесный угол с точкой — мы видим, что он рассматривал телесные углы как нульмерные сущности. Говоря о телесном угле, он имел в виду его острие, а не трехмерную область, ограниченную его гранями. Это тонкое различие, но понимание того, что телесные углы можно рассматривать как точки, имело большое значение для его теоремы. Тем не менее Эйлер упустил возможность дать им новое название. Вершина многогранника отличается от телесного угла, исходящего из нее. В 1794 году Адриен-Мари Лежандр (1752–1833) очень ясно высказался по этому поводу:
Мы часто употребляем в быту слово угол для обозначения точки, расположенной в его вершине; это неправильное выражение. Было бы понятнее и точнее использовать специальное название — вершины — для обозначения точек в вершинах углов многоугольника или многогранника. Именно в этом смысле следует понимать выражение вершины многогранника, которое мы использовали58.
После того как великий Эйлер сосредоточился на этих трех ключевых признаках — вершинах, ребрах и гранях — и начал выписывать их для различных семейств многогранников, он, вероятно, довольно быстро заметил связь между ними. Можно представить себе удивление Эйлера, когда он открыл, что для любого многогранника имеет место соотношение