Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
По преданию, один из пифагорейцев, Гиппас из Метапонта (ок. 500 до н. э.), нарушил традицию анонимности, за что был сурово наказан. По одной легенде, его утопили в море, а по другой он был изгнан из братства пифагорейцев и ему был воздвигнут надгробный камень как символ отвержения. По поводу того, чем именно Гиппас заслужил столь суровую кару, тоже есть две легенды (возможно, обе истинны).
По одной легенде, Гиппас открыл додекаэдр и показал, как вписать его в сферу, но не упомянул при этом Пифагора. Это открытие, вероятно, имело особое значение для пифагорейцев, потому что гранями додекаэдра являются пятиугольники. Они выбрали пентаграмму, или пятиугольную звезду (рис. 4.2), которая у греков символизировала здоровье, в качестве особого символа, отличавшего членов братства. Пентаграмма строится путем соединения вершин правильного пятиугольника, при этом внутри него образуется меньший правильный пятиугольник.
По второй легенде, Гиппас доказал, что не всякое число рационально, но не сохранил это открытие в тайне. Историки расходятся в вопросе о том, какое именно иррациональное число открыл Гиппас. Это могло быть √2, т. е. длина диагонали квадрата со стороной единичной длины, или (√5 + 1)/2, которое часто называют золотым сечением, или просто обозначают буквой ϕ. Открытие Гиппасом иррациональности золотого сечения — заманчивая теория, потому что ϕ равно длине стороны пентаграммы, вписанной в пятиугольник со стороной единичной длины (рис. 4.3). Тот факт, что все числа рациональны, — один из столпов пифагорейской системы верований. Существование иррационального числа подрывало основы. Легко представить себе, сколь силен был гнев, обращенный против Гиппаса. По иронии судьбы, именно доказательство существования иррациональных чисел стало одним из самых значительных и долговечных вкладов пифагорейцев в математику.
Рис. 4.2. Пентаграмма, символ пифагорейской школы, вписанная в правильный пятиугольник
Рис. 4.3. Диагонали иррациональной длины, √2 и ϕ = (√5 + 1)/2
Вне зависимости от того, Гиппас ли открыл додекаэдр или кто-то из его собратьев, пифагорейцы, похоже, знали по меньшей мере о трех правильных телах: тетраэдре, кубе и додекаэдре. Не ясно, было ли им известно об октаэдре и икосаэдре, или честь открытия этих многогранников принадлежит Теэтету Афинскому (ок. 417–369 до н. э.). Даже ранние свидетельства противоречивы. Прокл (410–485), ученый, живший в V веке, утверждает, что пифагорейцы знали об октаэдре и икосаэдре, тогда как в недатированной схолии «Начал» Евклида мы читаем, что «три из упомянутых выше пяти тел, а именно куб, пирамида и додекаэдр, открыты пифагорейцами, а октаэдр и икосаэдр — Теэтетом»32. В наши дни многие ученые поддерживают теорию Уильяма Уотерхауса о более позднем открытии октаэдра, что, по всей видимости, исключает пифагорейцев из числа потенциальных авторов.
Теэтет не так широко известен, как другие греческие математики, но он, безусловно, является героем нашей истории. Почти наверняка он доказал, что существует пять и только пять правильных многогранников. Большая часть сведений о Теэтете известна нам из сочинений его друга, влиятельного философа и учителя, Платона (427–347 до н. э.). Платон написал два диалога с участием Теэтета: «Софист» и «Теэтет».
Рис. 4.4. Платон глазами художника
Теэтет родился во время Пелопонесских войн. Он геройски погиб в битве 369 года до н. э. между Афинами и Коринфом. Математику он изучал под руководством Феодора (465–398 до н. э.) и по любым меркам был весьма одаренным математиком. Платон ставит Теэтета на одну из высших ступеней, отдавая первенство лишь своему учителю Сократу (470–399 до н. э.). В диалоге «Теэтет» Феодор говорит о юном Теэтете: «Этот же подходит к учению и любому исследованию легко, плавно и верно, так спокойно, словно бесшумно вытекающее масло, — и я удивляюсь, как в таком возрасте можно этого достичь»33.
В то время открытие иррациональных чисел было еще довольно свежим событием, а об их свойствах было известно немногое. Теэтет внес важный вклад в классификацию и организацию иррациональных чисел. Позже эта классификация составит большую часть десятой книги «Начал» Евклида.
Несмотря на споры о том, кто был первооткрывателем пяти правильных тел, нет почти никаких сомнений в том, что именно Теэтет первым подверг их всестороннему и строгому изучению. Благодаря Теэтету были выполнены все три этапа разработки теории, которые мы обсуждали в главе 3. Во-первых, все пять тел были известны, и Теэтет смог построить их геометрически. Во-вторых, он осознал общую черту всех пяти тел — их правильность. И наконец, он доказал, что эти тела — единственные правильные многогранники. Доказательства и построения Теэтета приведены в XIII книге евклидовых «Начал». Вообще, многие историки полагают, что вся математика в книгах X и XIII «Начал» — результат работ Теэтета.