Жемчужина Эйлера

Следует отметить, что многообразия с краем нечетной размерности необязательно имеют нулевую характеристику Эйлера-Пуанкаре. Например, для n-мерного шара Bn характеристика Эйлера-Пуанкаре равна 1 для всех n.

Превращение топологии из дисциплины, построенной на интуитивных аргументах, в раздел математики со строгими доказательствами произошло на протяжении первых трех десятилетий XX века. Это было время, когда топологи избавились от пробелов, прорех, нежелательных допущений и ошибок блестящей работы Пуанкаре.

Например, рассмотрим следующие два предположения, сделанных Пуанкаре. Во-первых, он утверждал, что любое многообразие можно представить в виде симплициального комплекса или, точнее, что всякое многообразие можно триангулировать. Во-вторых, он предполагал, что Hauptvermutung (основная гипотеза комбинаторной топологии) верна для любого многообразия (напомним, что эта гипотеза утверждает, что любые два разбиения многообразия можно измельчить, добавив симплексы, так что они станут топологически эквивалентными). Как выясняется, в общем случае оба этих предположения неверны. И тем не менее математики показали, что выводы Пуанкаре справедливы.

Важное усовершенствование идей Пункаре принадлежит немецкой женщине-математику Эмми Нётер (1882–1935). Нётер, дочери математика, пришлось бороться с укоренившимися предрассудками. Она была женщиной, подвизавшейся в области, где доминировали мужчины. В 1904 году женщинам наконец разрешили поступать в Эрлангенский университет, но до тех пор она могла лишь присутствовать на занятиях. Докторскую диссертацию она защитила в 1907 году. В 1915 году, когда она уже заработала репутацию первоклассного математика, Клейн и Давид Гильберт (1862–1943) пригласили ее в Гёттинген с намерением принять в постоянный штат. Но лишь в 1919 году ей было позволено занять должность на факультете, а до тех пор считалось, что ее курсы читаются от имени Гильберта, а она лишь выступает в роли его помощника. Когда к власти пришли нацисты, жизнь многих немцев изменилась. В 1933-м еврейка Нётер была вынуждена уехать из Гёттингена в США и стала преподавать в колледже в Брин-Море. Спустя два года она умерла.

Наибольшую известность Нётер принесли пионерские работы в области общей алгебры. В самых общих чертах, общая алгебра изучает множества, наделенные одной или несколькими бинарными операциями (например, сложение и умножение и обратные к ним вычитание и деление).

До середины 1920-х годов гомологии описывались в терминах чисел Бетти и коэффициентов зацепления. Понадобилась алгебраист Нётер, чтобы понять, что гомологии обладают гораздо более богатой структурой. Она выделила ключевую особенность гомологии — способность складывать и вычитать циклы. Сконцентрировавшись на этой арифметической операции, она заметила, что гомология — частный случай алгебраического объекта, называемого группой, и что правильный взгляд на гомологию дают группы Бетти, или группы гомологий, как их теперь называют. В своей автобиографии Павел Александров писал: «Вспоминаю обед у Брауэра в честь Эмми Нётер, во время которого гостья изложила определение групп Бетти-комплексов, вскоре получившее всеобщее распространение и совершенно преобразившее всю топологию»212.

Рис. 23.8. Эмми Нётер