Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Располагая таким обобщением многогранников на многомерный случай, естественно задаться вопросом, можно ли обобщить эйлерову характеристику на многомерные многообразия. Пункаре, как Коши и Шлефли до него, обобщил эйлерову характеристику, вычислив знакопеременную сумму числа k-симплексов. Иными словами, если многообразие M представлено в виде симплициального комплекса с ak симплексами размерности k, то он определил эйлерову характеристику как
χ(M)) = a0 – a1 +a2 – ... ± аn .
Это обобщение эйлеровой характеристики на n-мерное пространство называется характеристикой Эйлера-Пуанкаре многообразия M.
Например, сплошной тор является 3-мерным многообразием с краем (краем является тор, 2-мерное многообразие). На рис. 23.6 показано, как представить сплошной тор в виде симплициального комплекса. У него 12 вершин (0-симплексов), 36 ребер (1-симплексов), 36 граней (2-симплексов) и 12 треугольных пирамид (3-симплексов). Поэтому a0 = 12, a1 = 36, a2 = 36 и a3 = 12, так что характеристика Эйлера-Пуанкаре равна χ(сплошной тор) = 12 – 36 + 36 – 12 = 0.
Рис. 23.6. Симплициальный комплекс для сплошного тора
Так же как эйлерова характеристика является топологическим инвариантом поверхностей, так и характеристика Эйлера-Пуанкаре является инвариантом n-мерных многообразий. Чтобы доказать этот факт, Пуанкаре установил нечто гораздо более интересное. Он доказал, что если k-е число Бетти равно bk, то
χ(M) ) = b0 – bi1 + b2 – ... ± bn.
То есть, чтобы вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре, мы игнорируем коэффициенты зацепления и берем знакопеременную сумму чисел Бетти! В табл. 23.1 показано, что это равенство имеет место для чисел Бетти поверхностей. Поскольку каждое число bk является топологическим инвариантом, таковым же является и их знакопеременная сумма. Стало быть, характеристика Эйлера-Пуанкаре — топологический инвариант.
В 1895 году Пуанкаре открыл изумительно симметричное соотношение между числами Бетти210. Последовательность чисел Бетти для нескольких многообразий показана в табл. 23.2. Пуанкаре заметил, что числа Бетти встречаются парами, причем первые такие же, как последние: b0 = bn, b1 = bn-1 и т. д. Это и стало утверждением знаменитой теоремы двойственности Пуанкаре.
Таблица 23.2. Симметрия чисел Бетти
Мы уже встречались с двойственностью, когда обсуждали подмеченное Кеплером объединение платоновых тел в пары (глава 6). В обоих случаях термин «двойственность» выбран не случайно; наблюдение Кеплера — это замаскированная двойственность Пуанкаре. Теорема двойственности Пуанкаре утверждает, что при вычислении чисел Бетти многообразия мы вправе менять местами роли i-мерных и (n – i)-мерных симплексов. Двойственность платоновых тел иллюстрирует это поведение. Например, икосаэдр дает пример разбиения сферы на вершины, ребра и грани. Если воспользоваться двойственностью Кеплера и преобразовать каждую вершину икосаэдра в грань, а каждую грань — в вершину, то получится додекаэдр — еще одно разбиение сферы.
В «Analysis Situs» Пуанкаре писал: «Я полагаю, что эту теорему никто не формулировал, однако она известна многим, и некоторые даже находили ей применения»211. Мы не знаем, ни кто были эти «многие», ни как они использовали это соотношение, но главной целью Пуанкаре было доказать тот удивительный факт, что характеристика Эйлера-Пункаре любого замкнутого ориентируемого многообразия нечетной размерности равна нулю!
Действительно, рассмотрим 3-мерный тор — 3-мерное многообразие, полученное склеиванием сторон куба, как в левой части на рис. 23.7. его числа Бетти равны b0 = 1, b1 = 3, b2 = 3 и b3 = 1 (мы не станем это доказывать), поэтому характеристика Эйлера-Пуанкаре равна
χ(3-мерный тор) = 1 – 3 + 3 – 1 = 0.
Вообще, пусть M — произвольное замкнутое ориентируемое многообразие нечетной размерности n. В силу теоремы двойственности Пуанкаре числа Бетти встречаются парами с противоположным знаком, поэтому в выражении характеристики Эйлера-Пуанкаре в виде знакопеременной суммы они взаимно уничтожаются:
Оказывается, что характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого неориентируемого многообразия также равна нулю. Мы опускаем сложное доказательство этого факта, но проиллюстрируем его на примере. 3-мерное многообразие, полученное попарным склеиванием сторон куба, как показано в правой части на рис. 23.7, неориентируемое. Его числа Бетти равны b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1 и b3 = 0 (у него также имеются коэффициенты зацепления в размерностях 1 и 2). Мы видим, что двойственность Пуанкаре не имеет места, но характеристика Эйлера-Пуанкаре по-прежнему равна нулю: