Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Коши недолго работал военным инженером на строительстве Уркского канала, моста Сен-Клод и Шербургской базы флота. Первые математические сочинения он опубликовал в 1811 году, за два года до возвращения в Париж, где начал строить карьеру в математике. В 1815 году он был принят на работу в Политехническую школу.
Коши был потрясающе плодовитым ученым. По количеству написанных работ он уступает только Эйлеру; собрание его сочинений, включающее по меньшей мере семь книг и восемьсот статей, занимает двадцать семь объемистых томов. Наверное, это байка, но говорят, что Французская академия наук ввела правило, ограничивающее количество публикаций одного автора в год, в ответ на неиссякаемый поток работ, выходивший из-под пера Коши.
Коши внес значительный и глубокий вклад во многие разделы математики, включая комплексный анализ, вещественный анализ, алгебру, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию определителей и математическую физику. Многие фундаментальные идеи анализа, высказанные Ньютоном, Лейбницем, Эйлером и другими, были наконец-то поставлены на твердое теоретическое основание именно Коши. Ему мы должны быть благодарны за современные определения непрерывности, предела, производной и определенного интеграла. Благодаря частым лекциям в Политехнической школе и многочисленным публикациям его голос был постоянно слышен в математическом сообществе в течение всей первой половины XIX века.
Непреложным свидетельством влиятельности Коши является количество названных в его честь теорем, свойств и понятий — быть может, больше, чем в честь любого другого математика, включая Эйлера. И тем не менее создается впечатление, что Коши стал одним из величайших математиков вопреки самому себе. Зачастую он публиковал работы, казалось, не осознавая их глубины и важности. Математик Ганс Фройденталь (1905–1990) писал: «Почти во всех случаях он оставлял окончательную форму своих открытий следующему поколению. Всем достижениям Коши недостает глубины, что необычно... Он был самым поверхностным из великих математиков, он обладал несомненным чутьем на простое и фундаментальное, сам того не осознавая»95.
Хотя Коши вызывает огромное восхищение как математик, о его личности этого не скажешь. Он был известен своим упрямством и склонностью к мелодраматичности. Типичным примером является его добровольная ссылка из Франции в Турин и Прагу, затянувшаяся почти на десять лет. По политическим убеждениям он был консерватором, последовавшим в изгнание за низложенным королем Карлом X после июльской революции 1830 года. До отъезда из Франции и после возвращения он отказался присягать новому режиму и даже не соглашался выступать на публике. Он был ревностным католиком, но его благотворительная деятельность затмевалась поведением, выдававшим «ханжеского, эгоистичного, узколобого фанатика»96. Один биограф писал, что Коши был «высокомерным роялистом в политике и лицемерным, нравоучительным, богобоязненным в религии... большинство коллег-ученых недолюбливало его и считало чопорным ханжой»97.
Первые математические работы Коши написал еще в бытность инженером. В них содержатся его результаты по многогранникам, в т. ч. теорема о жесткости (которую мы обсуждали в главе 5) и по формуле Эйлера. Эти важные результаты — один из очень немногих вкладов Коши в геометрию.
Первая особенность, отличающая доказательство формулы Эйлера, данное Коши, от предшествующих, заключается в том, что многогранники считаются полыми, а не сплошными. Точнее, он рассматривает «выпуклую поверхность многогранника»98. Из-за его языка и оттого, что в других местах статьи он вырезает из многогранника куски, может показаться, что он по-прежнему рассматривает многогранник как сплошное тело и только для целей доказательства предполагает, что он полый.
Первый шаг доказательства Коши — преобразование этого полого многогранника в граф на плоскости. Он удаляет из многогранника одну грань, а затем «путем переноса на эту грань всех остальных вершин, не изменяя их числа, получает плоскую фигуру, состоящую из нескольких многоугольников внутри данного контура». Коши уточняет это построение, говоря, что «остальные грани ... можно рассматривать как образующие набор многоугольников, содержащихся в области, которую занимала удаленная грань». Этот процесс показан на рис. 12.2, где многогранник в форме домика спроецирован на плоскость пола.
Рис. 12.2. Коши спроецировал многогранник на нижнюю грань