Жемчужина Эйлера

Давайте уточним связь между числом связности и эйлеровой характеристикой. Представим себе, что до фактического разрезания мы нарисовали линии разрезов на n-связной поверхности S. Это дает очень простое разбиение поверхности. Для простоты предположим, что все разрезы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, так что V = 1. После разрезания останется одна грань, так что F = 1. Кроме того, каждая линия разреза является ребром, так что E = n. В результате получаем следующее простое соотношение между числом связности и эйлеровой характеристикой:

χ(S) = 1 – n + 1 = 2 – n.

К концу жизни здоровье Римана начало ухудшаться. Между 1862 годом и смертью, последовавшей в 1866 году, он несколько раз ездил в Италию на лечение. В одну из поездок он навестил своего знакомого Бетти, с которым встречался в Гёттингене в 1858 году. Бетти был профессором в Пизанском университете. Он также преподавал в высшей школе, был членом парламента и сенатором. Он был известным математиком и одаренным преподавателем и сыграл важную роль в возрождении математики в Италии после ее объединения.

Будучи в Италии, Риман беседовал с Бетти о том, как обобщить числа связности на многообразия более высокой размерности. Трудно сказать, кто из них какой вклад внес в теорию. В 1871 году именно Бетти опубликовал эти обобщения, но из писем и заметок видно, что Риман многое знал о них еще в 1852 году.

Идея обобщения заключается в том, чтобы по аналогии с тем, как Риман подсчитывал 1-мерные разрезы поверхности, подсчитать для n-мерного многообразия максимальное число m-мерных многообразий (подчиняющихся некоторым сложным условиям) для каждого m ≤ n. Это даст числа связности bm для всех m от 0 до n. В этих обозначениях b1 является римановым числом связности.