Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
В «Исследовании» Листинг отказался от взгляда на многогранники как на жесткие фигуры, а подверг проблему топологическому рассмотрению. Листинг подсчитывал количество вершин, ребер, граней и (трехмерных) пространственных граней, но допускал, что эти характеристики могут иметь нетривиальную топологию, или (в его терминологии) циклозис. Например, он считал окружность ребром, а сферу гранью, но при подсчете модифицировал итог, принимая во внимание их топологию. цилиндр он считал гранью, но, поскольку тот содержит нетривиальную петлю, вычитал единицу. Таким образом, если A, B, C, D — соответственно число вершин, ребер, граней и пространственных граней, очищенных от циклозиса, то A – B + C – D = 0.
Чтобы дать представление о том, как устроено разбиение Листинга, применим его к сплошному тору — это разбиение показано на рис. 22.7. В нем нет вершин, одно круговое ребро, две грани (в форме цилиндра и в форме диска) и две пространственные грани (внутренность цилиндра и окружающее пространство, которое он тоже учитывал в подсчете). Поскольку в этом разбиении нет вершин, A = 0. Ребро одно, но оно содержит замкнутую петлю, так что B = 1 – 1 = 0. Грани две, но поскольку цилиндрическая грань содержит замкнутую петлю вдоль окружности, то C уменьшается на единицу. Таким образом, C = 2 – 1 = 1. Наконец, пространственных грани две, но поскольку внешнее пространство содержит нетривиальную петлю, имеем D = 2 – 1 = 1. В полном согласии с формулой Листинга: A – B + C – D = 0 – 0 + 1 – 1 = 0.
Рис. 22.7. Разбиение сплошного тора
Подход Листинга к задаче был удивительно остроумным и проницательным. Это была первая попытка рассмотреть трехмерную формулу Эйлера с чисто топологической точки зрения. Однако она была далека от совершенства. Уж как минимум способ вычисления A, B, C и D был путаным. Листинг отказался от изящной простоты вершин, ребер и граней Эйлера. Вместо этого мы должны понимать топологию каждого элемента разбиения Листинга.
Следующий крупный вклад в теорию n-мерной топологии был сделан Риманом и итальянским математиком Энрико Бетти (1823–1892). Чтобы понять, в чем он состоял, нам придется вернуться к изучению поверхностей, предпринятому Риманом.
В своей докторской диссертации 1851 года Риман представил топологический инвариант — число дырок в ориентируемой поверхности. Он назвал его числом связности поверхности203. Поверхность (с краем или без края) имеет число связности n, или является n-связной[15], если n — наибольшее число разрезов, при котором поверхность еще не распадается на части[16]. Если поверхность имеет край, то разрезы должны начинаться и заканчиваться на крае. Если же у поверхности нет края, то первый разрез должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (после чего у поверхности появится край).
На рис. 22.8 показано три поверхности с краем: цилиндр, диск с тремя дырками и лента Мёбиуса. Пунктирными линиями представлены разрезы. Для цилиндра и диска с дырками число связности равно 1 и 3 соответственно. Работа Римана по числам связности предшествует открытию неориентируемых поверхностей Мёбиусом, но числа связности для неориентируемых поверхностей вычисляются точно таким же образом. В частности, лента Мёбиуса 1-связная.
Рис. 22.8. Разрезы для определения чисел связности различных поверхностей
Простейшей замкнутой поверхностью является сфера. Любой разрез вдоль замкнутой кривой разбивает сферу на две части. Поэтому сфера 0-связная. Если разрезать тор вдоль трубки, то получится цилиндр. После второго разреза параллельно оси цилиндра получится прямоугольник. Следовательно, число связности тора равно 2. Аналогично можно вычислить числа связности других поверхностей. Двойной тор 4-связен, проективная плоскость 1-связна, а бутылка Клейна 2-связна.
Может показаться, что число связности — новый важный топологический инвариант, но на самом деле это замаскированная эйлерова характеристика. Проницательный читатель, наверное, уже подметил связь между числом связности и родом ориентируемой замкнутой поверхности. И Риман тоже обратил на это внимание — число связности в два раза больше рода. Если известна одна из трех величин — род, эйлерова характеристика или число связности, — то можно вычислить и остальные две.
15
В наши дни значение термина n-связный несколько изменилось.
16
На самом деле число связности Римана было на единицу больше этого значения, но мы уменьшили его, чтобы сохранить совместимость с современной нотацией.