Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
V – E + F – S = 1.
Для иллюстрации теоремы Коши рассмотрим разбиения октаэдра и куба на рис. 22.5. Новая грань внутри октаэдра разбивает его на два многогранника, поэтому S = 2. Имеется 6 вершин, 12 ребер и 9 граней. В полном соответствии с утверждением Коши, 6 – 12 + 9 – 2 = 1. Аналогично в кубе, разбитом на 3 многогранника, имеется 12 вершин, 22 ребра и 14 граней, и 12 – 22 + 14 – 3 = 1.
В 1852 году Людвиг Шлефли открыл вариант формулы Эйлера, справедливый для выпуклых многогранников любой размерности, но эта работа была опубликована только в 1901 году, когда его результаты уже были заново открыты другими199. Пусть P — n-мерный многогранник, имеющий b0 вершин, b1 ребер, b2 граней и вообще bk граней размерности k. Шлефли представлял себе эти многогранники как полые оболочки, ограниченные (n–1)-мерными гранями, это означает, что bn = 0. Определим эйлерову характеристику как знакопеременную сумму числа граней разных размерностей: χ(P) = b0 – b1 + b2 – ... ± bn–1. Шлефли заметил, что χ(Р) = 0, когда n нечетно, и χ(P) = 2, когда n четно.
Рис. 22.5. Разбиение октаэдра и куба
Рассмотрим результаты Коши и Шлефли с точки зрения современной топологии. Прежде всего оба ограничивались только выпуклыми многогранниками, не имеющими ни дыр, ни туннелей. Топологически полый п-мерный многогранник Шлефли гомеоморфен (n – 1)-мерной единичной сфере, Sn-1. Таким образом, теорема Шлефли показывает, что χ(Sn) = 0 при нечетном n и χ(Sn) = 2 при четном n. С другой стороны, Коши предполагал, что выпуклый многогранник сплошной, т. е. топологически эквивалентный трехмерному шару B3. Коши доказал, что χ(B3) = 1, а мы теперь знаем, что χ(Bn) = 1 для всех n. Чтобы убедиться в этом, создадим Вn, «заполнив» многогранник Шлефли одной n-мерной гранью. Тогда χ(Bn) = χ(Sn-1) + (–1)n. Для четных n χ(Bn) = 0 + 1 = 1, а для нечетных n χ(Bn) = 2 – 1 = 1.
Следующее обобщение на многомерный случай было предложено Листингом. Мы уже несколько раз с ним встречались. Он внес вклад в теорию графов (глава 11), первым из математиков стал изучать узлы (глава 18), открыл ленту Мёбиуса раньше самого Мёбиуса и даже придумал термин «топология» (глава 16). Фактически он первым подошел к формуле Эйлера с чисто топологической точки зрения и стал первым математиком, думавшим как тополог. Можно было бы назвать его одним из гигантов топологии. Но в действительности его мало кто знал во время жизни, да и после смерти он долго оставался незаметной фигурой. Даже теперь в «Словаре научных биографий», восемнадцатитомном собрании кратких биографий наиболее значительных ученых и математиков за всю историю человечества, нет статьи о Листинге.
Рис. 22.6. Иоганн Листинг
Не понятно, почему он так и не занял достойного места в истории. У него прекрасный академический послужной список. Он защитил докторскую диссертацию под руководством Гаусса и оставался в ближнем кругу своего учителя до самой его смерти (Листинг присутствовал на похоронах). В течение восьми лет он жил по соседству с Риманом. (Удивительно, что нет никаких свидетельств совместной работы или даже значимых бесед между ними, хотя у них так много общего. Высказывалось предположение, что Листинг, возможно, опасался заразиться туберкулезом, терзавшим семью Римана200.) Листинг внес важный вклад и в другие области науки, например оптику глаза. Помимо топологии, он ввел в оборот еще несколько терминов, сохранившихся до наших дней, например «микрон» — миллионная доля метра.
Быть может, неизвестностью он обязан личным качествам. Будучи общительным и добрым человеком, он страдал маниакально-депрессивным психозом, постоянно испытывал финансовые затруднения из-за больших долгов, а его жена часто вступала в конфликт с законом. Быть может, из-за своего беспокойного духа он на несколько лет отдалялся от математики и принимал неудачные карьерные решения, а быть может, все объясняется отказом играть в политические игры в академии. Возможно, проблема — в его способе изложение математики. В его работах всегда очень много внимания уделяется деталям, за которыми трудно разглядеть важные и глубокие открытия.
Он написал две монографии по топологии, одну в 1847, другую в 1861 году201. Первая, уже упоминавшаяся «Топология», состояла в основном из его размышлений на топологические темы. Вторая, с длинным названием «Der Census räumllcher Complexe oder Verallgemelnerung des Euler'-schen Satzes von den Polyedern» («Исследование пространственных комплексов, или Обобщение теоремы Эйлера на многогранники»), содержала его обобщения формулы Эйлера на невыпуклые трехмерные тела. В 1884 году П. Г. Тэйт сетовал, что труды Листинга по топологии не были извлечены из незаслуженной безвестности и не опубликованы на английском, особенно когда так много работ, по сравнению с ними никчемных или, по крайней мере, не столь полезных, удостоилось этой чести202.