Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
История многообразий восходит к Риману и его изучению многозначных комплексных функций и ассоциированных с ними римановых поверхностей. Но только на рубеже XX столетия Пуанкаре показал, что многообразие — важный объект исследования и предложил несколько способов его описания. Пожалуй, простейший из них — выразить многообразие в виде подмножества ℝn с помощью одного или нескольких уравнений. Например, уравнение х2 + у2 +z2 = 1 определяет сферу, а (3- √ X2 + у2 )2 + z2 = 1 — тор. Оба многообразия находятся в R3.
Иногда Пуанкаре представлял многообразие n-мерным многогранником, который называл симплициальным комплексом. В симплициальном комплексе обобщением вершины, ребра и грани является симплекс. Можно предполагать, что все симплексы — это треугольники или многомерные аналоги треугольников. На рис. 22.3 показано, что k-симплекс — это k-мерная фигура, определяемая k + 1 точками. 0-симплекс — это точка, 1-симплекс — отрезок прямой, 2-симплекс — треугольник, 3-симплекс — треугольная пирамида и т. д. Предполагается, что два соседних симплициальных комплекса граничат по симплексу меньшей размерности. (Заметим, что как многогранники Гесселя [глава 15] не были поверхностями, так не каждый симплициальный комплекс является многообразием.)
Рис. 22.3. 0-, 1-, 2- и 3-симплексы
Пуанкаре предложил еще один способ описания многообразий — обобщение построения поверхностей Клейном. Как Клейн строил поверхности, склеивая стороны многоугольников, так Пуанкаре создавал n-мерные многообразия, склеивая грани n-мерных многогранников. Чтобы получить тор, нужно склеить противоположные грани квадрата без перекручивания. Аналогично, чтобы построить 3-мерный тор, нужно попарно склеить противоположные грани куба без перекручивания (см. рис. 22.4). 3-мерный тор — пример замкнутого ориентируемого 3-мерного многообразия.
Рис. 22.4. После склеивания соответственных граней получается тор
В абстрактном определении многообразия не говорится, где это многообразие «живет». Мы смогли определить бутылку Клейна и понять ее свойства, не зная, что она не может существовать в ℝ3. Спрашивается: если дано n-мерное многообразие общего вида, всегда ли можно поместить его в евклидово пространство ℝm, так чтобы избежать самопересечений? Если да, то насколько большим должно быть m? Хасслер Уитни доказал, что любое n-мерное многообразие можно разместить в некотором евклидовом пространстве размерности не больше 2n. Этот результат называется теоремой Уитни о вложении.
В главе 17 мы рассматривали теорему классификации для поверхностей. Каждая поверхность является либо сферой с ручками, либо сферой со скрещенными колпаками. Имеет смысл задаться вопросом, можно ли классифицировать n-мерные многообразия для n > 2. Оказывается, что это очень трудная задача. В главе 17 мы утверждали, что размерность n-мерного многообразия — топологический инвариант, т. е. 5-мерное многообразие не может быть гомеоморфно 7-мерному. Даже этот результат обосновать было нелегко. Только в 1911 году Брауэр доказал теорему об инвариантности размерности197, которая утверждает, что ℝn” негомеоморфно ℝm при m ≠ n. Позже мы обсудим одну из самых знаменитых задач классификации, за решение которой была назначена награда в миллион долларов.
Важность задач классификации не следует недооценивать. Один из главных открытых вопросов — какова форма Вселенной? Всем, кроме специалистов по теории струн, представляется, что мы живем в трехмерной Вселенной — гигантском 3-мерном многообразии (предположительно без края!). Каковы свойства этого многообразия? Конечен ли его диаметр, или оно простирается бесконечно? Верно ли, что оно топологически эквивалентно ℝ3, или же оно имеет нетривиальные топологические свойства? И еще более странный вопрос — ориентируемо ли оно? Может ли случиться, что космонавт-правша улетит далеко от Земли и вернется левшой?
Теперь, когда мы ввели понятие многообразия для любой размерности, естественно возникает вопрос, применима ли к ним формула Эйлера. Для ответа на него нам придется вернуться к многогранникам. Коши первым увидел нечто подобное обобщению формулы Эйлера на более высокие размерности198. В той же статье, где он доказал формулу Эйлера путем проецирования многогранника на плоскость, был сформулирован и доказан многомерный ее аналог в одном частном случае. Коши доказал, что если пометить вершины, ребра и грани внутрь выпуклого многогранника, разбив его тем самым на S выпуклых многогранников, и обозначить V, E, F соответственно полное число вершин, ребер и граней (включая и внутренние), то