Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Однако величины площадей и углов — внутренние свойства поверхности, поскольку могут быть измерены живущими на ней существами. Для вычисления этих величин не нужно фиксировать положение поверхности в пространстве. Площадь и углы треугольника, нарисованного на листе бумаги, не изменятся, когда мы свернем его в цилиндр. Следовательно, поскольку гауссову кривизну можно определить в терминах этих величин, она фактически является мерой внутренней кривизны поверхности!
Именно Гаусс первым открыл, что произведение двух внешних главных кривизн дает меру внутренней кривизны поверхности. Он оценил красоту своего открытия, поэтому назвал его theorema egregium, или «замечательная теорема».
Поскольку гауссова кривизна — внутреннее свойство поверхности, для ее измерения не требуется, чтобы объект был жестко закреплен в пространстве. Однако это и не топологическая мера. Если бы лист бумаги был топологической поверхностью (сделанной из резины), то можно было бы как угодно изменить его кривизну и сильно исказить нарисованный на нем треугольник.
В 1827 году Гаусс доказал важную теорему, в которой развивалась связь между кривизной, площадью и угловым избытком192. Точно так же, как мы вычислили полную кривизну простой замкнутой кривой, Гаусс хотел вычислить полную кривизну области на поверхности. Для поверхности постоянной кривизны все просто. Если гауссова кривизна равна k, то полная кривизна области R равна k · A(R), где A(R) – площадь R. Если область является геодезическим треугольником △, то полная кривизна равна k · A(△) = [E(△)/A(△)]A(△) = E(△), угловому избытку треугольника.
Замечательная теорема Гаусса утверждает, что это верно и для геодезических треугольников на поверхностях непостоянной кривизны[13].
Иными словами, эта теорема говорит, что полная кривизна геодезического треугольника △ равна a + b + c – π, где a, b, c — внутренние углы △.
Вторым человеком, имя которого фигурирует в названии этой теоремы, является французский геометр Пьер Оссиан Бонне (1819–1892). В 1848 году Бонне обобщил теорему Гаусса, доказав ее вариант для областей, стороны которых не являются геодезическими; этот вариант мы здесь приводить не будем193. Таким образом, Гаусс мог вычислить полную кривизну любого геодезического треугольника, а Бонне — полную кривизну любой замкнутой области на поверхности.
Удивительно, что ни Гаусс, ни Бонне не задались, казалось бы, естественным вопросом: какова полная кривизна всей поверхности? Они даже не поинтересовались полной кривизной сферы. Полную кривизну поверхности можно вычислить без всякого труда, объединив локальную теорему Гаусса-Бонне с теоремой об угловом избытке (по техническим причинам необходимо потребовать, чтобы поверхности были ориентируемыми).
Разобьем поверхность на геодезические треугольники. По локальной теореме Гаусса-Бонне, полная кривизна каждого треугольника равна его угловому избытку. Поэтому полная кривизна поверхности S равна полному угловому избытку поверхности, который, как мы знаем, составляет 2πχ(S). Этот результат теперь называется глобальной теоремой Гаусса-Бонне[14].
Грубо говоря, глобальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что, растягивая и сжимая поверхность, мы можем изменить ее локальную кривизну, но полная кривизна не изменится. Все новые области положительной кривизны будут компенсированы новыми областями отрицательной кривизны. Роль играет только топология поверхности.
Может показаться странным, что локальная кривизна бильярдного шара отличается от локальной кривизны Земли, ведь форма-то у них одинакова, а различны только размеры. Глобальная теорема Гаусса-Бонне разрешает эти сомнения. Хотя кривизна Земли гораздо меньше кривизны бильярдного шара, ее площадь гораздо больше. А полная кривизна того и другого одинакова. Прибавление большого числа маленьких величин — то же самое, что прибавление одной большой.
Объединив теорему Гаусса-Бонне с теоремой классификации (глава 17) для ориентируемых поверхностей, мы придем к интересным выводам. Например, сфера — единственная замкнутая поверхность с положительной эйлеровой характеристикой. Поэтому любая поверхность положительной полной кривизны должна быть гомеоморфна сфере. Аналогично, если полная кривизна замкнутой поверхности равна нулю, то она должна быть гомеоморфна тору. У любой другой замкнутой ориентируемой поверхности (рода g, где g > 1) полная кривизна должна быть отрицательна.
13
Локальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что ∫△k dA = a + b + c – π, где a, b,c - внутренние углы геодезического треугольника △.
14
Глобальная теорема Гаусса-Бонне утверждает, что полная кривизна поверхности S равна ∫Sk dA = 2πχ(S).