Жемчужина Эйлера

Иными словами, полная кривизна всех простых замкнутых гладких кривых одинакова! Если бросить на стол веревочную петлю, так чтобы она не пересекала самое себя, то области отрицательной и положительной кривизны компенсируют друг друга, так что полная кривизна будет равна 2π. То есть факт гомеоморфности окружности однозначно определяет полную кривизну. Снова мы видим, как топология управляет геометрией.

Мы не станем доказывать эту теорему, но она тесно связана с теоремой о вращающихся касательных из предыдущей главы. И снова студент, знакомый с математическим анализом, заметит, что, поскольку мы суммируем скорость изменения вращающихся касательных, полная кривизна просто равна полному изменению угла касательного вектора, т. е. 2π.

Можно рассматривать эту теорему как еще одно обобщение теоремы о сумме внешних углов многоугольника. Вдоль сторон многоугольника кривизна равна нулю, а вся его кривизна сосредоточена в вершинах и принимает вид внешних углов. Полная кривизна равна 2π.

Теперь перейдем от кривых к поверхностям. Поскольку мы изучаем геометрические свойства поверхностей, то должны считать их жесткими, а не сделанными из резины, как в топологии. Будем также предполагать, что поверхности гладкие, не имеют резких складок и углов.

Как и для кривых на плоскости, мы исследуем кривизну поверхностей в трехмерном пространстве. Снова выберем вектор n, нормальный к поверхности в точке x. Затем рассмотрим плоскость, проходящую через x и параллельную n. Пересечением этой плоскости с поверхностью является некоторая кривая, кривизну которой можно вычислить. Обычно кривизна кривых для разных плоскостей различается. Наименьшее и наибольшее значения k1 и k2 называются главными кривизнами поверхности в точке x (см. рис. 21.3). В 1760 году Эйлер доказал, что главным кривизнам соответствуют перпендикулярные плоскости189.

Рис. 21.3. Поверхности, для которых k1, k2 < 0 (слева), k1 > 0, k2 < 0 (в центре) и k1 = 0, k2 > 0 (справа)