Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Рис. 20.9. Треугольник с угловым избытком (слева) и с угловым недостатком (справа)
Поэтому можно говорить об угловом избытке или угловом недостатке геодезического треугольника — величине, на которую сумма внутренних углов отличается от суммы углов плоского треугольника. Угловым избытком геодезического треугольника с внутренними углами a, b, c называется величина (a + b + с) – π. Если (a + b + с) – π отрицательно, то у треугольника имеет место угловой недостаток.
Аналогично можно определить угловой избыток или недостаток геодезического n-угольника. Как мы знаем, сумма внутренних углов плоского n-угольника равна (n – 2)π. Поэтому угловой избыток n-угольника с внутренними углами a1, a2, …, an равен (a1 + a2 + … + an) – (n – 2)π.
Важно не путать угловой избыток и недостаток для многогранников и для поверхностей. У многогранника угловой избыток или недостаток испытывают вершины, а у поверхности — грани. Одинаковые названия могут ввести в заблуждение, но, как мы увидим ниже, на самом деле они тесно связаны.
Возьмите комок пластилина и вылепите октаэдр. Каждая его грань — равносторонний треугольник, поэтому угловой недостаток в каждой вершине равен 2π – 4(π/3) = 2π/3. Поскольку всего вершин шесть, полный угловой недостаток равен 6(2π/3) = 4π, что согласуется с формулой Декарта. Покрасьте все ребра маркером. Затем положите многогранник на стол и раскатайте его, так чтобы он принял сферическую форму (рис. 20.10). Грани, когда-то бывшие треугольниками, стали искривленными поверхностями. Если деформация выполнена аккуратно, то прямые ребра превратятся в геодезические отрезки, а грани — в геодезические треугольники.
Рис. 20.10. Октаэдр, раскатанный в шар
После раскатывания октаэдра в шар ни в какой вершине не наблюдается углового недостатка. Все вершины разгладились, так что сумма углов при каждой вершине равна 2π. Куда же делся угловой недостаток?
Легко видеть, что в ходе этого процесса величины внутренних углов треугольника изменились. Углы при каждой вершине, которые раньше были равны 60°, теперь стали прямыми. Каждый треугольник на пластилиновом шаре имеет три прямых угла, так что сумма внутренних углов равна 3π/2. Для треугольных граней имеет место угловой избыток. Угловой недостаток в вершинах октаэдра распределился по граням шара и стал угловым избытком треугольников. Аналогично для любого разбиения поверхности на геодезические треугольники в вершинах нет ни углового недостатка, ни углового избытка, зато он есть в гранях.
Если поверхность разбита на грани, геодезические ребра и вершины, то полным угловым избытком называется сумма угловых избытков всех граней. Как полный угловой недостаток многогранника связан с его эйлеровой характеристикой (формула Декарта), так полный угловой избыток поверхности связан с ее эйлеровой характеристикой. Мы имеем следующий аналог формулы Декарта для поверхностей.
Доказательство этой теоремы наверняка покажется вам знакомым. Пусть поверхность S разбита на вершины, геодезические ребра и грани. Поставим в центр каждой грани 2π, рядом с каждым ребром –π, а в каждую вершину величину угла (см. рис. 20.11). Просуммировав эти величины для одной n-угольной грани с внутренними углами a1 a2, ..., an, получим угловой избыток этой грани:
2π – nπ + (a1 + а2 + ... + an) = (a1 + a2 + ... + an) – (n – 2)π.
Рис. 20.11. Разметка поверхности: 2π на каждой грани, –π на каждом ребре и величины углов в каждой вершине
Следовательно, сумма этих величин по всей поверхности дает полный угловой избыток поверхности.
С другой стороны, каждая грань привносит 2π, каждое ребро — –2π, а каждая вершина — 2π. Сумма эти значений равна 2πF – 2πЕ + 2πV = 2πχ(S), и требуемый результат доказан.
Формула Декарта и теорема об угловом избытке — красивые теоремы, показывающие, что топология в некотором смысле управляет геометрией. В следующей главе мы рассмотрим еще один пример. Мы увидим, что полная кривизна поверхности зависит от ее топологии, а та тесно связана с эйлеровой характеристикой.
Приложения к главе
183. Shakespeare (1992), 36.
184. Polya (1954), 57-58.
185. Hopf (1935).
186. Quoted in Federico (1982), 43.