Жемчужина Эйлера

Второй многогранник имеет туннель, проходящий через центр. Он не удовлетворяет условию 2, потому что, как видно по рис. 15.9, можно сделать разрез, проходящий по циклу ребер, так что многогранник не распадется на две части. В 1879 году Р. Хоппе заметил: «Допустим, что многогранник сделан из материала, который легко режется, например из мягкой глины. Протащим нить через туннель, а потом сквозь глину. Многогранник не развалится»135. Напомним, что Люилье не дал точного определения туннеля. Хоппе воспользовался идеями из статьи Штаудта, чтобы исправить эту ситуацию. Он определил туннель в терминах количества разрезов, которые необходимо сделать, чтобы поверхность распалась на части. Мы вернемся к этой идее в главе 17.

Ну, и третье исключение Люилье тоже легко отметается. Ведь в нем предполагается, что в многограннике имеется многогранная же полость, но это имеет смысл только для сплошных многогранников, тогда как Штаудт предполагал, что многогранники полые. Но даже если допустить сплошные многогранники, все равно условие 1 не выполняется, потому что не существует ребер, соединяющих внутренние вершины с внешними. Хотя исключения Гесселя удовлетворяют обоим условиям Штаудта, он, как и большинство математиков, не считал их многогранниками.

Интуитивно понятно, что многогранники, удовлетворяющие критериям Штаудта, — те, которые «похожи на сферу» и такие, что граница любой грани представляет собой один многоугольник. Многогранник не обязан быть выпуклым, но не может иметь туннелей. Если бы такой многогранник был сделан из резины, то, надув его, мы получили бы сферу.

Этот плодотворный диалог об эйлеровых и неэйлеровых многогранниках, состоявшийся в первой половине XIX века, подготовил сцену для рождения топологии. Эти идеи были развиты другими математиками, и кульминацией стало замечательное обобщение формулы Эйлера, полученное в конце XIX века Пуанкаре. Мы обсудим это развитие в главах 17, 22 и 23.