Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Первый класс исключений, открытых Люилье, состоял из многогранников с кольцевыми гранями. Например, на рис. 15.1 углубление в середине одной грани куба порождает грань в форме квадратной втулки. У этого многогранника 10 граней (5 квадратных, 4 треугольных и одна кольцевая), 20 ребер и 13 вершин. В данном случае формула Эйлера не выполняется, потому что 13 – 20 + 10 = 3. Люилье не называл такие грани кольцевыми, а говорил, что грань содержит «внутренний многоугольник».
Рис. 15.1. Исключения Люилье: кольцевые грани, туннели и полости
Второй класс исключений Люилье — многогранники с одним или несколькими «туннелями», просверленными сквозь центр. На рис. 15.1 мы видим многогранник в виде бублика. В нем 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, т. е. 16 – 32 + 16 = 0. Идею третьего класса исключений Люилье навеяла коллекция минералов, которую он видел у своего знакомого. В одном из образцов Люилье заметил цветной кристалл внутри прозрачного. (Позднее, в 1832 году Гесселя также вдохновил такой кристалл; в его случае то был кубический кристалл галенита (сульфида свинца) с кристаллом хлористого кальция внутри.) Люилье представил себе многогранник с многогранной же внутренней полостью. Разумеется, такое исключение имеет смысл, только если считать многогранник сплошным, а не полым телом. Куб с кубической полостью показан на рис. 15.1. У этого многогранника 16 вершин, 24 ребра и 12 граней, так что 16 – 24 + 12 = 4.
Люилье (и Жергонн) полагал, что этим исчерпываются все возможные исключения из формулы Эйлера. Люилье писал: «Легко убедиться, что теорема Эйлера верна в общем случае для всех многогранников, выпуклых и невыпуклых, за исключением случаев, которые будут описаны ниже»128.
Затем, вместо того чтобы игнорировать исключения, Люилье придумал модификацию формулы Эйлера, учитывающую особенности исключительных многогранников. Он утверждал, что многогранник с T туннелями, C полостями и P внутренними многогранниками удовлетворяет формуле
V - E + F = 2 - 2T + P + 2C.
Нетрудно проверить, что эта формула действительно верна для всех трех многогранников на рис. 15.1.
Но, как оказалось, три случая, найденных Люилье, не исчерпывают всех исключений из формулы Эйлера, и его изобретательная формула неприменима ко всем «экзотическим» многогранникам. Например, ни один из четырех многогранников на рис. 15.2 не попадает ни в одну из категорий Люилье и не понятно, как применить его формулу. У первого многогранника имеется грань с двумя внутренними многоугольниками с общей вершиной; во втором имеется туннель с разветвлением; в третьем — полость в форме тора, а четвертый сам имеет форму тора, но наличие туннеля не очевидно.
Рис. 15.2. Многогранники сложной формы
И мы снова возвращаемся к проблеме определения многогранника — невозможно классифицировать эйлеровы многогранники, не имея точного определения, что такое многогранник. Тем не менее классификация исключений Люилье принесла чрезвычайную пользу, а его формула в несколько модифицированном виде в конечном итоге оказалась правильной. На самом деле, согласно Лакатосу, этот модифицированный вариант формулы Эйлера или похожий на него переоткрывался десяток раз за восемьдесят лет, последовавших за открытием Люилье.
Иоганн Гессель сначала получил медицинское образование, но изменил род занятий, после того как известный минералог К. К. фон Леонард убедил его заняться минералогией. В итоге Гессель стал профессором минералогии и технологий горных работ в немецком Марбурге. Он внес вклад в разные области науки, но больше всего известен математическими исследованиями классов симметрии минералов.
В статье 1832 года Гессель описал пять исключений из формулы для многогранников129. Работая над статьей и предлагая ее для публикации, Гессель не знал о работе Люилье, написанной двадцатью годами раньше. Но вскоре он узнал об этой работе и о том, что три из пяти его исключений уже были описаны Люилье. Гессель полагал, что многим неизвестно об этих важных исключениях, поэтому не стал отзывать статью. Два новых исключения Гесселя показаны на рис. 15.3. Одно из них — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными по ребру, а другое — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными в вершине. Вопрос о том, следует ли называть эти фигуры многогранниками, спорный, но нет сомнений, что они не удовлетворяют формуле Эйлера. Первый имеет 12 вершин, 20 ребер и 11 граней (12 - 20 + 11 = 3), а второй — 8 вершин, 14 ребер и 9 граней (8 - 14 + 9 = 3).