Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Рис. 15.3. Исключения Гесселя из формулы для многогранников
Луи Пуансо нашел еще два исключения в 1810 году130. В статье, содержащей уточнение доказательства Лежандра, Пуансо также представил четыре звездных многогранника, показанных на рис. 15.4. Как мы видели, математические теоремы часто открываются, потом забываются и открываются заново. Напомним, что два из этих четырех звездных многогранников, большой и малый звездные додекаэдры, были описаны еще Кеплером (см. рис. 6.6), а до того встречались на картинах Ямницера и Уччелло (рис. 6.3). Пуансо первым представил два других звездных многогранника, большой додекаэдр и большой икосаэдр, в математическом контексте, хотя первый также встречается на рисунках Ямницера (рис. 6.3). Эти четыре многогранника теперь называются многогранниками Кеплера-Пуансо.
Проще всего рассматривать их как невыпуклые многогранники, составленные из треугольных граней. Мы уже отмечали, что они звездные и потому, как следует из доказательства Лежандра, удовлетворяют формуле
Эйлера для многогранников. Однако ни Кеплер, ни Пуансо не воспринимали их таким образом. Они считали эти экзотические тела новыми видами правильных многогранников.
Рис. 15.4. Многогранники Кеплера-Пуансо: большой и малый звездные додекаэдры, большой додекаэдр и большой икосаэдр
Чтобы понять их точку зрения, нам придется вернуться к многоугольникам на плоскости. Ранее мы утверждали, что существует только один правильный n-угольник для любого n > 2. Например, правильный пятиугольник показан на рис. 15.5 слева. Но если ослабить требования и допустить пересечение сторон многоугольника, то можно будет найти еще один правильный пятиугольник — пентаграмму пифагорейцев. В конце концов, для вычерчивания пентаграммы нужно провести только пять линий карандашом. Мы считаем, что пентаграмма имеет пять вершин и пять сторон, соединяющих эти вершины. Каждая сторона пересекает две другие, но эти точки пересечения игнорируются и не считаются вершинами. Пентаграмма образована пятью сторонами равной длины, и углы между ними равны. Чем не правильный пятиугольник?
Рис. 15.5. Правильный пятиугольник и правильный самопересекающийся пятиугольник, пентаграмма
Кеплер и Пуансо рассматривали свои звездные многогранники точно так же. Большой додекаэдр, с их точки зрения, образован не треугольниками, а двенадцатью самопересекающимися пятиугольными гранями (см. рис. 15.6). То есть нужно взять все компланарные грани и объединить их в одну грань. Таким образом, большой додекаэдр построен из конгруэнтных правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Если мы готовы отказаться от требования выпуклости, то большой додекаэдр можно рассматривать как правильный многогранник наравне с платоновыми телами. И три других тела Кеплера-Пуансо обладают этой переопределенной характеристикой правильности — у большого и малого звездных додекаэдров гранями являются пентаграммы, а у большого икосаэдра — равносторонние треугольники.
Рис. 15.6. Правильные многогранники с самопересекающимися гранями
Как Теэтет доказал, что существует всего пять правильных многогранников, так Коши в 1811 году доказал, что существует только четыре многогранника, удовлетворяющих этому новому, ослабленному определению правильности, — четыре многогранника Кеплера-Пуансо131.
Хотя это не те многогранники, что встречаются в повседневной жизни, вычислить для них величину V – E + F все же можно. Конечно, большой икосаэдр (V = 12, E = 30, F = 20) и большой звездный додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12) удовлетворяют формуле Эйлера. Но остальные два нет — это еще два исключения из формулы Эйлера. Действительно, если рассматривать большой додекаэдр как многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями, то он не удовлетворяет этой формуле. В нем 30 ребер и 12 вершин, поэтому 12 – 30 + 12 = –6. В малом звездном додекаэдре также 12 вершин, 30 ребер и 12 граней, так что знакочередующаяся сумма снова равна –6.
Первая половина XIX века видела много исключений из формулы Эйлера, но и много новых доказательств. К 1811 году уже существовали доказательства Эйлера, Лежандра и Коши. В 1813 году Люилье в той же статье, где были описаны три исключения132, дал новое доказательство того, что формула Эйлера верна для выпуклых многогранников. Как и Эйлер, Люилье разложил многогранник на пирамиды. Для этого он поместил новую вершину внутрь многогранника и построил ребра и грани, соединяющие эту вершину с вершинами и гранями исходного многогранника. Тем самым он разложил многогранник на много пирамид с общей вершиной. Затем он доказал, что формула для многогранников имеет место для любой пирамиды и для тел, построенных из пирамид таким способом.