Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
В статье Люилье Жергонн привел доказательство для выпуклых многогранников (это доказательство через четырнадцать лет заново открыл Якоб Штайнер [1796–1863])133. Жергонн спроецировал многогранник на плоскость и воспользовался рассуждениями, включающими углы многоугольников.
Одно из самых остроумных доказательств формулы для многогранников придумал Карл Георг Кристиан фон Штаудт (1798–1867) в 1847 году. У этого доказательства есть дополнительное достоинство: оно применимо к широкому классу невыпуклых многогранников. Штаудт родился в дворянской семье в Ротенбурге в Германии. В двенадцать лет он поступил в Гёттингенский университет для изучения астрономии и математики под руководством Гаусса. Его докторская диссертация по астрономии произвела на Гаусса такое впечатление, что он помог Штаудту получить место, дающее право на чтение лекций, в Вюрцбургском университете, хотя Штаудт в то время работал учителем в средней школе. В 1835 году Штаудт стал полным профессором Эрлангенского университета, где был ведущим математиком. Штаудт не отличался плодовитостью, но в 1847 году написал оказавшую заметное влияние книгу по проективной геометрии «Geometrie der Lage», к которой впоследствии добавил три длинных дополнения. Именно этой книгой он больше всего и запомнился.
Выпуклость является достаточным условием для формулы Эйлера, но, как указал Пуансо, не необходимым. В «Geometrie der Lage» Штаудт наконец дал очень общий набор условий, описывающих эйлеровы многогранники134. Как и Коши, Штаудт неявно предполагал, что многогранники являются полыми оболочками, а не сплошными телами. Кроме того, он сделал следующие предположения о многогранниках:
1) из любой вершины существует путь в любую другую вершину, проходящий по ребрам;
2) любой путь, составленный из ребер, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине и не заходит ни в какую вершину дважды (напомним, что такой путь называется циклом), разбивает многогранник на две части.
Прозорливому критерию Штаудта удовлетворяют многие невыпуклые многогранники. Например, на рис. 15.7 показано два многогранника очень сложной формы. Первый, как выясняется, удовлетворяет всем условиям Штаудта (для него V = 48, E = 72, F = 26, так что 48 – 72 + 26 = 2). А второй — нет. Разрез по выделенной линии не разбивает этот многогранник на две части (для него V = 40, E = 60, F = 20, так что 40 – 60 + 20 = 0).
Рис. 15.7. Два многогранника сложной формы
Затем Штаудт привел красивое рассуждение, доказывающее, что для любого многогранника, удовлетворяющего этим условиям, должна выполняться формула Эйлера. Мы дадим краткий набросок данного доказательства.
Покрасим какую-нибудь вершину многогранника в красный цвет. Начав с этой вершины, покрасим одно из инцидентных ей ребер и другую его вершину в красный цвет (на рис. 15.8 этот процесс показан для куба, где жирными сплошными линиями выделены красные ребра). Затем выберем одну из двух красных вершин и покрасим инцидентное ей ребро и другую его вершину в красный цвет. Продолжим такое окрашивание ребер и вершин, соблюдая одно важное условие: не создавать красных циклов. Рано или поздно этот процесс завершится. Для любого многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, это случится в точности тогда, когда все вершины будут покрашены в красный цвет. Поскольку во множестве красных ребер нет циклов, оно образует дерево и, как видели ранее (рис. 13.3 и относящийся к нему текст), красных ребер должно быть V – 1.
Рис. 15.8. Два дерева в доказательстве Штаудта
Теперь поместим внутрь каждой грани синюю вершину. Проведем синее ребро, соединяющее синюю вершину с соседней синей вершиной, если только они не разделены красным ребром (синие ребра показаны штриховыми линиями на рис. 15.8). И снова для многогранника, удовлетворяющего условиям Штаудта, получившийся синий граф будет деревом. В этом синем дереве F вершин, поэтому оно состоит из F – 1 ребер. Ключевое наблюдение заключается в том, что каждое ребро исходного многогранника либо красное, либо пересекается с синим ребром. Поэтому общее число ребер равно сумме числа красных и синих ребер: