Жемчужина Эйлера

Важно понимать различие между внутренней и внешней размерностью. Муравей, сидящий на поверхности, скажет вам, что она локально двумерная — внутренняя размерность поверхности равна двум. Но чтобы мы могли построить физическую копию этой поверхности, она должна где-то находиться, размерность этого объемлющего пространства называется внешней размерностью. Внутренняя размерность сферы и тора равна двум, но они должны находиться в трехмерном пространстве, поэтому внешняя размерность равна трем. Вскоре мы встретимся со странными поверхностями, которые нельзя построить в трехмерном пространстве. Их внешняя размерность равна 4. С топологической точки зрения наиболее важна внутренняя размерность поверхности; именно поэтому мы говорим, что поверхности двумерны.

Поверхности характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Иными словами, вблизи все они одинаковы. Все выглядят, как евклидова плоскость. Но глобально они могут существенно различаться. Они могут заворачиваться, иметь сквозные дыры, могут быть скрученными или завязанными в узел и т. д.

Сфера и тор — примеры замкнутых поверхностей. В них нет проколов, они не простираются в бесконечность и не имеют резких границ. Иногда мы хотим рассматривать незамкнутые поверхности. Диск и цилиндр — примеры поверхностей с краем. Поверхность с краем по-прежнему локально двумерная, но может иметь одну или более одномерных граничных кривых. Некоторые сторонники теории плоской Земли верят, что Земля имеет край. На такой планете незадачливый Колумб не добрался бы до Индии, а свалился бы через край в океан.

Для простоты мы будем использовать термин «поверхность», имея в виду компактную поверхность. Термин «компактная» означает, что поверхность ограничена и содержит все свои края. Иначе говоря, мы не рассматриваем неограниченные поверхности, такие как двумерная плоскость или цилиндрическая труба, уходящие в бесконечность в обоих направлениях. Говоря, что поверхность должна содержать все свои края, мы хотим исключить такие поверхности, как открытый единичный диск (x2 + y2 < 1). Открытым единичным диском называется множество всех точек, отстоящих от начала координат на расстояние, строго меньшее 1; это единичный диск (x2 + у2 ≤ 1), из которого удалена граничная окружность. Хорошая аналогия — обтрепанные штаны после отрезания размахрившихся краев, нам эта бахрома нужна.

В 1882 г. Феликс Клейн (1849–1925) придумал остроумный способ построения поверхностей140. Он начал с многоугольника (представьте, что он сделан из очень мягкой резины) и строил поверхность, попарно склеивая его стороны. Например, если взять квадрат, скатать его в трубочку и склеить две противоположные стороны, то получится цилиндр (рис. 16.2). Заметим, что если бы вместо скатывания квадрата в цилиндр мы деформировали фигуру на плоскости, пока противоположные стороны не сойдутся (для этого нужна очень мягкая резина!), то получилось бы кольцо в виде крепежной шайбы. Для тополога цилиндр и кольцо неразличимы.

Чтобы было понятно, какие стороны склеивать и в каком направлении, их обычно снабжают стрелками. есть два разных способа склеить пару сторон: с перекручиванием и без. Чтобы обозначить нужное совмещение, мы и используем стрелки. Когда требуется склеить не одну пару сторон, а больше, используются кратные стрелки или стрелки разной формы, чтобы показать, какие стороны склеиваются. На рис. 16.3 мы склеиваем обе пары противоположных сторон квадрата. Для этого одна пара сторон помечается одиночными стрелками, а другая — двойными. Сначала склеивается одна пара сторон и получается цилиндр. Затем, поскольку обе граничные окружности имеют совместимые ориентации, мы соединяем их и получаем тор.

Рис. 16.2. Цилиндр или кольцо

Рис. 16.3. Создание тора из квадрата