Жемчужина Эйлера

Все это замечательно, только кому это нужно?» — спросит скептически настроенный студент, источая сарказм. Красота — чудесная вещь, но некоторые считают, что важность теоремы следует измерять ее полезностью. Для чего может пригодиться формула Эйлера?

Этот вопрос можно задать применительно к любой математической теореме. Формула Эйлера — больше, чем просто элегантная теорема. В последующих главах мы представим многочисленные применения формулы Эйлера. Для большей их части придется провести кое-какую подготовку, чтобы понять, в чем состоит применение. Но чтобы разжечь у читателя аппетит, мы сделаем паузу и опишем два простых применения. Сначала мы с помощью формулы Эйлера докажем, что не существует правильных многогранников, кроме платоновых тел, а затем воспользуемся ей, чтобы вывести структурную теорему для мячей для гольфа, больших молекул и геодезических куполов.

В главе 5 мы показали, как Евклид доказывал, что существует ровно пять платоновых тел. Хотя доказательство кажется коротким, оно опирается на геометрические теоремы, доказанные в предыдущих двенадцати книгах «Начал». В этой главе мы приведем другое доказательство этого факта, основанное на формуле Эйлера и простых арифметических выкладках.

Пусть имеется правильное тело. Мы покажем, что это должно быть одно из пяти известных платоновых тел: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр или додекаэдр. Предположим, что многогранник имеет V вершин, E ребер и F граней. Из формулы Эйлера мы знаем, что

V – E + F = 2.

Поскольку многогранник правильный, каждая его грань является правильным многоугольником, и все они имеют одно и то же число ребер. Очевидно, что это число, которое мы обозначим n, должно быть не меньше трех. По определению, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. Это число m также должно быть не меньше трех (разумеется, m также равно числу граней, сходящихся в каждой вершине).