Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Именно друг Паскаля, богослов и математик Антуан Арно, выдвинул определяющий аргумент против отрицательных чисел. Арно поставил под сомнение равенство —1:1 и 1:—1. Он указывал, что —1 меньше, чем +1, следовательно, как может отношение меньшего числа к большему равняться отношению большего числа к меньшему? Эта проблема широко обсуждалась математиками той эпохи. В 1712 году Лейбниц признал это возражение верным, но указал, что произвести вычисления с помощью этих пропорций возможно, так как по форме они верны.

Одним из первых математиков, кто принял отрицательные числа, был англичанин Томас Хэрриот (1560–1621). Он не признавал существования отрицательных корней уравнений, однако рассмотрел уравнения с отрицательными коэффициентами при одной из переменных. Математик фламандского происхождения Симон Стевин использовал уравнения с положительными и отрицательными коэффициентами, признавая, в отличие от своего английского коллеги, существование отрицательных корней.

В своей книге Invention nouvelle en l’algebre (1629) французский математик Альбер Жирар рассматривал отрицательные числа наравне с положительными и приводил два решения квадратного уравнения, причем в одном из случаев оба решения были отрицательными. Жирар отчасти понимал, что отрицательные решения по своему смыслу противоположны положительным, тем самым предвосхитив понятие числовой прямой («Отрицательное в геометрии означает движение назад, — писал Жирар, — в то время как положительное есть движение вперед»).

В целом большинство математиков XVI и XVII веков не принимали отрицательные числа как таковые и лишь иногда признавали их истинными решениями уравнений. Взгляды некоторых математиков той эпохи на отрицательные числа были весьма интересными. Английский математик Джон Валлис в своей книге «Арифметика бесконечного» (1656) утверждал, что поскольку соотношение ОС:0 при положительных ОС является бесконечным, то при замене знаменателя на отрицательное число р отношение ОС:р должно быть больше бесконечности. Эти рассуждения весьма любопытны. Именно Джон Валлис дополнил экспоненциальную нотацию отрицательными степенями на основе некоторых примеров. Так, он доказал, что если последовательность обратных кубов (1/1, 1/8, 1/27…), степени которых равны —3, почленно умножить на последовательность квадратов (1, 4, 9…), степени которых равны 2, то результатом будет последовательность (1/1, 4/8, 9/27…). Результат равносилен последовательности 1/1, 1/2, 1/3… — последовательности чисел, обратных натуральным, следовательно, показатель степени членов этой последовательности равен —1 = —3 + 2.

Сегодня существование отрицательных чисел признается повсеместно, и они используются в расчетах наравне с положительными. Распространение отрицательных чисел позволило открыть мнимые числа, о которых мы поговорим дальше.