Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы Пуанкаре-Хопфа (ее варианта для поверхностей с краем). Мы будем рассматривать случай n = 2, но для больших n доказательство точно такое же. Начнем с функции f из B2 в себя. Определим на B2 векторное поле следующим образом: каждой точке x, принадлежащей B2, сопоставим вектор, начинающийся в x и заканчивающийся в f(x) (см. рис. 19.17). B2 — поверхность с краем, и все векторы, начинающиеся в точках края, направлены внутрь, поэтому условия теоремы Пуанкаре-Хопфа выполнены. Поскольку 'χ(B2) = 1 ≠ 0, векторное поле должно иметь хотя бы один ноль. Но нулевой вектор соответствует точке y, для которой f(y) = y. Иными словами, f должна иметь хотя бы одну неподвижную точку.
На самом деле теорема Брауэра применима к любому телу, гомеоморфному Bn. Кофе в чашке гомеоморфно B3. Как следует размешайте кофе в чашке (но не проливайте ни капли!) и подождите, пока оно снова успокоится. Тогда, по теореме Брауэра о неподвижной точке, найдется молекула кофе, находящаяся точно в том же месте, что и в самом начале.
В этой главе мы видели, что топология объекта, определяемая одной лишь характеристикой Эйлера, может влечь за собой глобальное поведение, которое, казалось бы, не имеет никакого отношения к глобальной топологии, — существование неподвижных точек у потоков и функций. В следующих двух главах мы увидим, что топология фигуры может определять также некоторые ее глобальные геометрические свойства.
Приложения к главе
170. Frost (2002), 308.
171. Brouwer (1912).
172. цитируется по Dieudonne (1975).
173. Dieudonne (1975).
174. Poincare (1881).
175. Poincare (1885).
176. Brouwer (1912).
177. Beno Eckmann, quoted in Frei and Stammbach (1999).
178. Hopf (1925); Hopf (1926a); Hopf (1926b).
179. Morse (1929).
180. Thurston (1997).
181. Brouwer (1909).
182. Brouwer (1912).
Глава 20
Когда топология управляет геометрией
...нам осталось
найти причину этого эффекта,
Или, верней, дефекта, потому что
Дефектный сей эффект небеспричинен.
Вот что осталось, и таков остаток.