Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
В 1911 году Брауэр обобщил теорему Пуанкаре об индексе на n-мерную сферу Sn. Мы знакомы с S1, единичной окружностью на плоскости (x2 + у2 = 1), и S2, единичной сферой в трехмерном пространстве (x2 + y2 + z2 = 1). Вообще, Sn — это множество точек, удаленных на расстояние 1 от начала координат в (n + 1)-мерном пространстве (x12 + x22 + ... + x2n+1 = 1). Брауэр доказал, что для любого векторного поля на Sn сумма индексов нулей равна 0, если n нечетно, и 2, если n четно176. В главах 22 и 23 мы обсудим эйлерову характеристику в многомерных пространствах. И узнаем, что χ(Sn) = 0, когда n нечетно, и χ(Sn) = 2, когда n четно.
Следующим из основных соавторов был Хайнц Хопф (1894–1971). Хопф родился в немецком городе Бреслау (ныне Вроцлав в Польше). Его труды по топологии оказали значительное влияние на математику XX века. Один ученик Хопфа писал: «Хопф с безошибочным инстинктом выбирал глубокие проблемы и давал им возможность созреть. А затем представлял целостное решение, демонстрирующее новые мысли и методы»177.
Рис. 19.13. Хайнц Хопф
В своих мемуарах Хопф отмечает, что поворотным моментом в его математической карьере стал двухнедельный период в 1917 году — отпуск с военной службы во время Первой мировой войны. Он сидел на занятиях в университете Бреслау во время изложения топологической теоремы Брауэра. После службы на Западном фронте, где он был дважды ранен и получил Железный крест, он возобновил изучение математики в университете Бреслау. Его математическая карьера заводила его в несколько немецких университетов, Принстонский университет и, наконец, в Швейцарскую высшую техническую школу (ETH) в Цюрихе.
Через два года после его приезда в Швейцарию к власти в Германии пришла нацистская партия. Хотя он воспитывался в протестантской вере, его отец был евреем. Соломон Лефшец и другие принстонские ученые убеждали Хопфа вернуться, но они с женой отказались покидать Швейцарию, а старались помогать беженцам из Германии. В конце концов, немецкое правительство пригрозило лишить его гражданства в случае невозвращения. С неохотой он отказался от немецкого гражданства и принял швейцарское. После войны Хопф остался в Швейцарии и усердно работал над восстановлением математики в Германии.
Из многочисленных важных вкладов Хопфа в топологию одним из первых стала топология векторных полей. Начиная с 1925 года он опубликовал серию статей, обобщающих теорему Пуанкаре об индексе178. Мы сформулировали теорему Пуанкаре-Хопфа для поверхностей, но Хопф доказал, что она применима и к многомерным обобщениям поверхностей — многообразиям (мы еще поговорим о многообразиях в главе 22).
Хотя теорема Пуанкаре-Хопфа обычно формулируется для замкнутых поверхностей, математики открыли различные ее обобщения. Существует очень общий вариант для поверхностей с краем179, но мы сформулируем следующую более простую версию.
Теорема о причесывании ежа неприменима к нашим головам, потому что волосистая часть головы человека топологически не является сферой — это диск. И действительно, в «зачесанных назад» прическах и «конских хвостах» волосы не торчат. Но у человека, подстриженного «ежиком», волосы часто растут в направлении от центра головы — вниз на затылке, к ушам по бокам и в сторону лица спереди. Поскольку это «волосяное» векторное поле направлено наружу вдоль края, то сумма индексов нулей должна быть равна χ(диск) = 1. Поэтому в каком-то месте головы должен быть вихор. У маленькой дочки автора (на голове у которой пока еще растет пушок) есть зачатки трех вихров, двух спиралей, закрученных наружу (все с индексом 1) и седло между ними (с индексом 0).
Теперь мы наметим доказательство теоремы Пуанкаре-Хопфа для поверхностей без края (его нетрудно модифицировать для поверхностей с краем). Доказательство основано на идее Уильяма Тёрстона (1946–2012)180.
Начнем с тщательно выбранного разбиения поверхности. Сначала поместим каждый ноль векторного поля внутрь многоугольной грани, не содержащей других нулей. Эти грани могут иметь произвольную форму, с любым числом сторон, при условии что ни один вектор, начинающийся на ребре, не направлен параллельно ребру. То есть всякий вектор на границе должен указывать внутрь или наружу.