Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Рис. 19.6. Индекс стока равен 1, а индекс седла равен –1
Рис. 19.7. Индекс седла равен 2(–1) + 1 = –1, а индекс стока — 6(–1) + 7(–1) = 1
Теперь выделим ребра и вершины, в которых векторное поле указывает внутрь. На каждом таком ребре поставим –1, а в каждой вершине 1. Наконец, поставим 1 в середину многоугольника. Оказывается, что сумма всех этих чисел равна индексу нуля. Мы видим, что это верно для седла и стока на рис. 19.7.
Вот теперь, наконец, мы можем сформулировать теорему Пуанкаре-Хопфа. Она дает топологический способ определить, есть ли ноль у векторного поля (или, что эквивалентно, есть ли неподвижная точка у потока). Кроме того, она проясняет вопрос об относительном числе нулей каждого типа на конкретной поверхности.
Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров. На рис. 19.8 показано три разных векторных поля на сфере. Первое, градиентное векторное поле, имеет сток и источник (оба с индексом 1), второе — два центра (оба с индексом 1), а третье — один диполь (с индексом 2). Во всех трех случаях сумма индексов равна 2 — эйлеровой характеристике сферы.
Рис. 19.8. Три векторных поля на сфере
Выше мы видели, что градиентное векторное поле на торе (рис. 19.3) имеет четыре нуля — один источник, два седла и один сток. Сумма их индексов равна 1 + 2(–1) + 1 = 0, т. е. эйлеровой характеристике тора.
В качестве дополнительного бонуса градиентные векторные поля позволяют вычислять эйлерову характеристику поверхностей, не рисуя вершин, ребер и граней. На рис. 19.9 мы видим сферу, согнутую в виде U-образного тела. Градиентное векторное поле имеет два источника, одно седло и один сток, поэтому сумма индексов равна 2(1) + 1(–1) + 1(1) = 2. Двойной тор имеет один источник, четыре седла и один сток, поэтому χ(двойной тор) = 1 + 4(–1) + 1 = –2. На бутылке Клейна один источник, два седла и один сток, поэтому χ(бутылка Клейна) = 1 + 2(–1) + 1 = 0. Подведем итог:
Рис. 19.9. Эйлеровы характеристики сферы, двойного тора и бутылки Клейна соответственно равны 2, –2 и 0
Теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что если число нулей векторного поля на поверхности конечно, то сумма их индексов равна эйлеровой характеристике. Отсюда следует, что если у векторного поля нет нулей, то эйлерова характеристика поверхности должна быть равна нулю. Поэтому любое векторное поле на поверхности с ненулевой эйлеровой характеристикой обязано иметь по крайней мере один ноль! Эйлерова характеристика сферы равна 2, следовательно, любое векторное поле на сфере должно иметь ноль. Эта знаменитая теорема, которую первым доказал Л. Э. Дж. Брауэр (1881–1966), известный друзьям как «Бертус», в 1911 году171, имеет хорошо запоминающееся название — теорема о причесывании ежа. Так она называется, потому что если рассматривать свернувшегося в клубок ежа (или теннисный мяч) как сферу с векторным полем, то невозможно причесать его так, чтобы ни одна иголка не торчала.
Из этой теоремы следует утверждение, упомянутое во введении: в любой момент времени на Земле существует точка, в которой не дует ветер. Если рассматривать Землю как сферу, то направления ветров на поверхности образуют векторное поле. По теореме о причесывании ежа, существует точка, где это поле обращается в ноль. В примере на рис. 19.10 точка безветрия находится в центре циклона близ берегов Южной Америки. (На самом деле, поскольку индекс этого нуля равен 1, на другой стороне Земли должна быть еще хотя бы одна точка, в которой нет ветра!)