Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Первый инвариант называется раскрашиваемостью. Для проверки на раскрашиваемость мы рисуем проекцию узла карандашами трех разных цветов. Узел является раскрашиваемым, если в каждой точке пересечения встречается только один или все три цвета. Кроме того, мы требуем, чтобы вся проекция не была одного цвета. Не очень трудно доказать, что раскрашиваемость является инвариантом узла, но это доказательство мы опустим. В частности, раскрашиваемость не зависит от выбора проекции.
На рис. 18.13 видно, что трилистник раскрашиваемый (мы использовали в качестве цветов черный, серый и «пунктирный»). Но после нескольких экспериментов оказывается, что восьмерка не раскрашивается. В примере на рис. 18.13 мы следовали правилам и раскрасили первые три пряди. А с верхней прядью вышла незадача. В зависимости от того, с какой стороны мы подходим, прядь оказывается разного цвета. Не существует цвета, позволившего бы раскрасить этот узел правильно. Поэтому трилистник и восьмерка — разные узлы.
Оставляем читателю доказательство того, что квадратный узел раскрашиваемый, а печать Соломона и пряничный человечек — нет. Таким образом, мы еще одним способом доказали, что квадратный узел отличен от печати Соломона и пряничного человечка.
С помощью простоты, рода и раскрашиваемости мы смогли различить все наши узлы, кроме печати Соломона и пряничного человечка. Оба узла простые, рода 2 и нераскрашиваемые. Чтобы доказать, что они все же различаются, нам нужен еще один инвариант: число пересечений.
Рис. 18.13. Трилистник раскрашиваемый, а восьмерка — нет
Числом пересечений узла называется наименьшее число пересечений во всех его проекциях. Будем обозначать c(K) число пересечений узла K. В обычной проекции тривиального узла пересечений нет, поэтому его число пересечений равно 0. Мы знаем, что трилистник и тривиальный узел различны, и имеется проекция трилистника с 3 пересечениями. Любой узел с 0, 1 или 2 пересечениями тривиален, поэтому число пересечений трилистника равно 3.
Узлы часто группируются по числу пересечений. Узлов с небольшим числом пересечений не очень много. Из табл. 18.1 видно, что трилистник — единственный узел с числом пересечений 3 (если не считать его и его зеркальное изображение за два), и существует всего семь простых узлов с шестью или меньшим числом пересечений. Но по мере увеличения числа пересечений количество различных узлов быстро возрастает168.
Таблица 18.1. Количество простых узлов с заданным числом пересечений
Как и с родом, и по той же самой причине с числом пересечений работать трудно. Посчитать число пересечений в заданной проекции легко. Но нет гарантии, что не существует другой проекции с меньшим числом пересечений. если имеется проекция узла K с n пересечениями, то мы можем только сказать, что c(K)≤ n. По счастью, как и род, число пересечений легко вычислить для альтернирующих узлов.
Сто лет назад Тэйт высказал гипотезу, что в редуцированной альтернирующей проекции узла число пересечений минимально. Здесь «редуцированная» означает, что перед подсчетом пересечений мы удаляем все несущественные пересечения типа показанного на рис. 18.14. Такое пересечение можно удалить, просто повернув часть узла на 180°. Если удалить все такие пересечения, предположил Тэйт, то оставшееся число пересечений минимально. Гипотеза Тэйта оставалась открытой много лет, но была независимо и одновременно доказана Луисом Кауфманом, Кунио Мурасуги и Морвеном Тистлетвейтом в середине 1980-х годов169.
Рис. 18.14. Несущественное пересечение
Эта теорема позволяет легко вычислить число пересечений для любого альтернирующего узла. Поскольку наши проекции трилистника, восьмерки, печати Соломона и пряничного человечка уже редуцированные и альтернирующие, найти их числа пересечений очень просто. Они равны соответственно 3, 4, 5 и 6. Так что один этот инвариант позволяет сделать вывод, что все эти узлы различаются, в т. ч. печать Соломона и пряничный человечек.
Разумно спросить, как число пересечений соотносится с произведением узлов. Есть ли красивая формула, связывающая c(K), c(L) и c(K#L)? Если K и L альтернирующие, то K#L тоже альтернирующий. Более того, действуя аккуратно, мы сможем взять редуцированные альтернирующие проекции K и L и соединить их так, что результирующая проекция K#L тоже будет редуцированной альтернирующей (действовать нужно не так, как мы поступали для квадратного узла). Следовательно, в этом частном случае число пересечений аддитивно.