Четыре дамы и молодой человек в вакууме. Нестандартные задачи обо всем на свете [litres]

1. Определим объем ангара в литрах. 1 фут = 3 дм, 1 куб. фут = 27 дм3 = 27 л. Объем ангара 55 ∙ 106 ∙ 27 = 1,48∙109 л, в этом объеме находится 1,48 ∙ 109 ∙ 2 ∙ 10–11 = 2,96 ∙ 10–2 г, или около 0,03 г ванилина (поскольку чувствительность к запаху ванилина – величина очень приблизительная и, вероятно, разная у разных людей, по-видимому, достаточна точность до одной-двух значащих цифр). Этот ванилин в 1995 году стоил (37/500) ∙ 0,03 = 2,2 ∙ 10–3 доллара, или примерно 0,2 цента.

2. При еле ощутимом запахе в 1 см3 воздуха содержится 2,0 ∙ 10–14 г ванилина. Формула бензальдегида: С6Н5СНО; в ванилине у бензальдегида один атом водорода в бензольном кольце замещен на гидроксигруппу ОН и один атом водорода – на метоксигруппу ОСН3, поэтому формулу ванилина можно записать так: (ОН)(ОСН3) С6Н3СНО или С8Н8О3; его молярная масса 152 г/моль, следовательно, в 1 см3 содержится 2,0 ∙ 10–14/152 = 1,3 ∙ 10–16 моль, т. е. 1,3 ∙ 10–16 ∙ 6 ∙ 1023 = 7,8 ∙ 107, т. е. около 80 млн молекул ванилина.

3. За 20 лет цена ванилина выросла с 17 до 37 долларов, т. е на 20 долларов, или в среднем на 1 доллар в год. Но это не значит, что инфляция в США была 1/20 (5 %) в год. Действительно, при 5 %-ной инфляции цена в первый год повысится с 17 до 17 + 17 ∙ 0,05 = 17 ∙ (1 + 0,05) = 17,85 доллара; во второй год – с 17,85 до 17,85 + 17,85 ∙ 0,05 = 17,85 ∙ (1 + 0,05) = 17 ∙ (1 + 0,05)2 = 18,74 доллара и т. д., и за 20 лет цена при 5 %-ной инфляции вырастет с 17 до 17 ∙ (1 + 0,05)20 = 45,1 доллара, тогда как на самом деле она увеличилась только до 37 долларов. Неверен и такой ответ: за 20 лет цена увеличилась на (20/17) ∙ 100 = 117,65 %, поэтому за год инфляция составляет 117,65/20 = 5,9 %.

Правильное решение таково.

Пусть инфляция составляет х % в год, тогда за 20 лет цена увеличится в (1 + 0,01х)20 = 37/17 = 2,176 раза. Чтобы решить это уравнение, прологарифмируем его:

20lg(1 + 0,01x) = lg 2,176 = 0,338;

lg (1 + 0,01х) = 0,338/20 = 0,0169;

1+ 0,01x = 100,0169 ≈ 1,04;

х = 4.

Таким образом, инфляция в среднем составляет около 4 % в год.

Конечно, можно использовать и натуральные логарифмы.

При отсутствии калькулятора, выполняющего действия со степенями и логарифмами, уравнение (1 + 0,01x)20 = 2,176 тоже можно решить – методом последовательных приближений, хотя это и дольше. Для этого надо подставлять в левую часть уравнения разные значения х, а потом число 1 + 0,01х = a представить в виде a20 = {[a∙(a2)2]2}2, т. е. дважды возвести в квадрат, умножить на себя и снова дважды возвести в квадрат. Например, предположим, инфляция х = 3,5 %, тогда а = 1 + 0,01 ∙ 3,5 = 1,035, a20 = 1,99, тогда как по условию а = 2,176. Значит, предположенная инфляция 3,5 % слишком мала и надо взять больше. Если предположить х = 4,5 %, a = 1,045, a20 = 1,04520 = 2,41, т. е. получили немного больше, чем надо. Так путем нескольких приближений можно найти х.