Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Рис. 13.10. Многоугольник на математическом планшете
Теорема Пика дает простой способ вычисления площадей даже очень сложных невыпуклых многоугольников (мы, однако, требуем, чтобы резинка не пересекала самое себя).
Например, поскольку для многоугольника на рис. 13.10 B = 12 и I = 5, то его площадь равна 5 + 12/2 – 1 = 10.
Оказалось, что один лесник в Орегоне использовал приближение к теореме Пика для оценки площади леса106. Лесник взял прозрачную пластинку с нанесенной на нее решеткой точек и наложил ее на многоугольную карту своего участка. Для оценки площади он сложил число точек во внутренней области с половиной числа точек на границе (очень близко к теореме Пика!) и умножил на подходящий масштабный коэффициент.
Теорема Пика с легкостью вытекает из формулы Эйлера, при условии что нам известна площадь примитивного треугольника. Треугольник называется примитивным, если внутри него нет гвоздей, а единственные гвозди на границе находятся в вершинах (например, треугольник на рис. 13.11). Иными словами, треугольник примитивный, если B = 3 и I = 0. Удивительно, но площадь любого примитивного треугольника равна 1/2.
Рис. 13.11. Параллелограмм, построенный по примитивному треугольнику на плоскости
К сожалению, доказать этот факт довольно трудно. Вместо полного доказательства мы поясним, почему это должно быть верно. Легко видеть, что плоскость (бесконечный математический планшет) можно замостить квадратами 1*1. Такое замощение обладает тем свойством, что если сдвинуть любую плитку на единицу вверх, вниз, вправо или влево, то она совпадет с другой плиткой. Аналогично возьмем примитивный треугольник и достроим его до параллелограмма, имеющего вдвое большую площадь. Параллелограммами тоже можно замостить плоскость, сдвигая их на единицу вверх, вниз, вправо или влево. Поэтому параллелограмм, как и квадрат, должен иметь площадь 1. А значит, площадь треугольника равна 1/2.
Теперь мы можем доказать теорему Пика. Сначала построим триангуляцию многоугольника — разобьем его на T примитивных треугольников (как показано на рис. 13.12). Если считать неограниченную область гранью, то F = T + 1. Поскольку площадь каждой треугольной грани равна 1/2, то полная площадь многоугольника A = (1/2)T.
Рис. 13.12. Многоугольник разбит на примитивные треугольники
У каждой ограниченной грани три стороны, поэтому в величине 3T каждое ребро учтено дважды, за исключением граничных ребер, которые учитываются один раз. Поскольку число граничных ребер равно числу расположенных на границе вершин, имеем
3T = 2E – B,
или
Количество вершин V = I + B. Применяя формулу Эйлера, получаем
2 = V – Е + F;
Поэтому число треугольных граней равно
T = 2I + B – 2,
а полная площадь равна
что и требовалось доказать.
И в заключение опишем две игры с карандашом и бумагой. Несмотря на сходство, одна является интеллектуальным вызовом, а другая — насмешкой над игроками, поскольку исход известен еще до того, как сделан первый ход.
По словам Мартина Гарднера (1914–2010), который долгое время вел математическую колонку в журнале «Scientific American», игру «Рассада» придумали за чашкой чая одним февральским утром 1967 года Джон Хортон Конвей (1937–2020) и Майкл Патерсон из Кембриджского университета. Она стала сенсацией. Конвей писал Гарднеру, что «на следующий день после того, как рассада проросла, в нее, казалось, играли все. Во время перерыва на чай или кофе собирались группки людей, склонившихся над фантастически нелепыми позициями рассады»107.
В начале игры на чистом листе бумаги рисуется несколько точек. Затем игроки по очереди ходят. Ход заключается в том, что игрок соединяет линией (прямой или кривой) две точки либо рисует петлю, начинающуюся и заканчивающуюся в какой-то точке, а потом ставит на этой линии новую точку. Правила очень простые: линии не должны пересекаться, линия не должна проходить через ранее поставленные точки, из каждой точки не должно исходить более трех точек. Победителем считается игрок, сделавший последний возможный ход. На рис. 13.13 показана игра с двумя начальными точками, в которой игрок 2 выигрывает на четвертом ходу.