Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
К счастью для де Моргана, ему не пришлось бросаться со скалы, как сделал Сфинкс, когда Эдип разгадал его загадку. Гамильтон даже не заинтересовался его задачей. Он ответил: «Маловероятно, что я займусь Вашим “кватернионом красок” в ближайшем будущем»112.
Хотя де Морган пытался уговорить еще несколько человек подумать над проблемой, математическое сообщество упрямо отказывалось рассматривать ее. Почти двадцать лет в печати не появлялось ничего. Поворотной точкой в проблеме четырех красок стал день 13 июня 1878 года, когда на собрании Лондонского математического общества уважаемый математик Артур Кэли спросил, решена ли эта задача, и признался, что сам решить ее не смог. Вопрос был опубликован в записках общества и широко разошелся по миру113.
Эта задача стала любимым времяпрепровождением любителей математики с тех пор, как Кэли привлек к ней внимание. Красота вопроса в том, что он формулируется настолько просто, что доступен даже пониманию ребенка. Безусловно, это математическая проблема, но для нее не требуется знания арифметики, алгебры, тригонометрии или анализа. Кажется, что до доказательства рукой подать. Вот что писал знаменитый геометр Г. С. М. Кокстер (1907–2003):
Наверное, чуть ли не каждый математик испытал ночной восторг, когда ему казалось, что он нашел доказательство, но утром обнаруживал, что попал в аналогичную ловушку114.
Работая в Scientific American, Мартин Гарднер раз в несколько месяцев получал длинное доказательство гипотезы четырех красок (конечно, все неверные). Поэтому в 1975 году он включил ее в колонку, вышедшую в первоапрельском номере. В статье «Шесть сенсационных открытий, которые каким-то образом ускользнули от внимания публики» он упомянул шесть главных открытий 1974 году, в т. ч. контрпример к гипотезе о четырех красках. Надпись под картой 110 областей говорила всё: «Теорема о четырех красках разнесена в пух и прах»115. Но до многих читателей шутка не дошла. От простофиль, не понявших, что это розыгрыш, пришло больше тысячи откликов на статью, в которых содержалось свыше сотни раскрашенных копий «контрпримера».
Хотя сейчас мы приписываем постановку проблемы четырех красок Фрэнсису Гатри, во многих старых текстах эту честь отдают немецкому математику Августу Мёбиусу (1790–1868). Мёбиус, последователь Мартина Лютера, был тихим и замкнутым семьянином. Повзрослев, он редко путешествовал, но в бытность аспирантом посещал Лейпцигский университет, Гёттингенский университет (на протяжении двух семестров работал вместе с Гауссом), Университет в Галле, а затем вернулся в Лейпциг, где закончил работу над докторской диссертацией по астрономии. После этого периода частых переездов он предпочел остаться в своей любимой Саксонии. Несмотря на многократные предложения работы в других университетах, он сохранял верность Лейпцигу на протяжении всей оставшейся жизни.
В Лейпциге Мёбиус работал астрономом и стоял во главе тамошней обсерватории. Он любил математику и именно в математику, а не в астрономию, внес наиболее важный свой вклад. Больше всего он известен работами по барицентрическому исчислению, проективной и аффинной геометрии и основаниям топологии. Благодаря уединенному образу жизни и скрупулезному подходу к математике он создавал отличные работы, но это не делало его талантливым лектором. Поэтому на его занятия ходило очень мало платных студентов.
Ошибка атрибуции проистекает из истории, рассказанной одним из студентов Мёбиуса Ричардом Бальцером (1818–1887). Бальцер писал, что в 1840 г. Мёбиус поставил перед аудиторией проблему пяти принцев. Он описал ее следующим образом:
Однажды в Индии правил царь, у которого было большое царство и пять сыновей. В своем завещании он написал, что после его смерти царство должно быть поделено между сыновьями таким образом, чтобы территория каждого граничила (по линии, а не в одной точке) с территориями остальных четырех. Как было разделено царство116?
На следующий день Мёбиус признался студентам, что в таком виде задача неразрешима.
Рис. 14.3. Август Мёбиус
С учетом того, что нам известно, легко понять, почему у задачи нет решения. Предположим, что существует способ разделить царство на пять таких областей и что в каждой области имеется дворец принца. Тогда для любых двух братьев можно проложить дорогу между их дворцами, так что она не будет проходить по землям других братьев. Но это означает, что мы построили планарный граф, в котором вершинами являются дворцы, а ребрами — дороги. Точнее, это полный граф с пятью вершинами, K5, который, как мы доказали, планарным не является.