Жемчужина Эйлера

Лакатос и математик Эрнст Штайниц (1871–1928) считают, что Коши знал, что его доказательство применимо к некоторым, а быть может, и ко всем невыпуклым многогранникам. Недоразумение проистекает из небрежного употребления Коши слова «выпуклый». Оно отсутствует в формулировке теоремы, но в доказательстве он говорит о «выпуклой поверхности многогранника». Он так никогда и не развеял это недоразумение, поэтому невозможно сказать, что он знал и чего не знал.

Независимо от того, понимал ли Коши, что его результат можно распространить и на некоторые невыпуклые многогранники, другие это быстро заметили. В 1813 году, в тот же год, когда была опубликована статья Коши, Жергонн дал свое доказательство формулы Эйлера. Впоследствии он писал: «И все же кто-то может предпочесть — и не без причины — красивое доказательство г-на Коши, обладающее тем драгоценным преимуществом, что в нем не предполагается выпуклость многогранника»100.

При некотором воображении доказательство Коши можно применить и к еще более широкому классу многогранников. В современных вариантах этого доказательства многогранник предполагается сделанным из резины. Если после удаления грани оставшуюся часть многогранника можно растянуть на плоскости без перекрытий и складывания, то доказательство Коши применимо. В главе 15 мы увидим патологические примеры многогранников, не обладающих этим свойством — после удаления грани остаток нельзя разложить на плоскости. Оказывается, что ключевым свойством является то, что многогранник имеет «форму сферы». Мы подробно обсудим это кажущееся расплывчатым свойство в главе 16. Коши был буквально в шаге от осознания этого важнейшего свойства. Если бы он обратил на него внимание, то сделал бы важный вклад в только зарождавшуюся дисциплину — топологию, или analysis situs, как ее тогда называли. Как писал Жак Адамар (1865–1963) в 1907 году: