Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
Жозеф Диас Жергонн (1771–1859), современник Коши, с которым мы еще встретимся в главе 15, так описывал этот процесс:
Возьмем многогранник с одной прозрачной гранью и представим себе, что глаз приближается к этой грани извне настолько близко, что можно рассмотреть внутренние поверхности всех остальных граней; это всегда возможно, если многогранник выпуклый. В этой конфигурации представим, что на плоскости прозрачной грани построена перспектива всех остальных граней99.
В своей замечательной книге «Доказательства и опровержения» Имре Лакатос (1922–1974) изложил идею Жергонна в современном виде, предложив поместить фотокамеру рядом с удаленной гранью и сфотографировать внутренность многогранника. Тогда на фотографии появится интересующий нас граф. Наглядно представить плоскостной многогранник можно также с помощью теней, отбрасываемых его ребрами, когда рядом с удаленной гранью помещена лампа (рис. 12.3).
Рис. 12.3. Плоскостной многогранник, рассматриваемый как тень своих ребер
Коши осознал, что достаточно установить связь между числом вершин, ребер и граней этого графа, и доказал, что для любого такого графа имеет место формула V – E + F = 1. После того как этот факт установлен, уже нетрудно завершить доказательство формулы для многогранников. Граф, полученный переносом многогранника на плоскость, имеет столько же вершин и ребер, сколько многогранник, но на одну грань меньше. Поскольку для графа V – E + F = 1, то для многогранника V – E + F = 2. Распространение формулы Эйлера на графы на плоскости — одно из самых полезных ее обобщений.
Идея доказательства Коши заключается в том, чтобы добавлять и удалять ребра таким образом, что величина V – E + F не изменяется. Тогда в конце останется один треугольник, для которого V – E + F = 3 – 3 + 1 = 1, откуда следует, что V – E + F = 1 для исходного графа. На первом шаге доказательства Коши разбивает граф на треугольники, добавляя диагонали в каждую нетреугольную грань (рис. 12.4). Эта процедура называется триангуляцией графа. При добавлении каждой диагонали число ребер увеличивается на единицу, число граней уменьшается на единицу, а число вершин не изменяется. Поэтому величина V – E + F для модифицированного графа такая же, как для исходного. Триангулировав граф, мы начинаем упрощать его, удаляя наружные ребра по одному до тех пор, пока не останется один треугольник (один из возможных порядков упрощения обозначен числовыми метками на рис. 12.4).
Рис. 12.4. Порядок удаления треугольников из триангулированного графа
Заметим, что треугольник, примыкающий к внешней границе графа, может иметь одно или два наружных ребра. В первом случае треугольник можно удалить, убрав одно ребро и оставив на месте все вершины (как треугольник 1 на рисунке). Во втором случае для удаления треугольника нужно убрать два ребра и одну вершину (как в случае треугольника 2 на рисунке). В обоих случаях величина V – E + F не изменяется. Следовательно, она остается такой же, как для исходного графа.
Впоследствии доказательство Коши было подвергнуто критике. Как Эйлер попал впросак, не дав четких инструкций по порядку удаления пирамид, так и Коши не привел надежных указаний, в каком порядке отрезать треугольники. Если действовать неаккуратно, то можно, следуя алгоритму Коши, получить несвязный граф, для которого доказываемое соотношение не выполняется. Например, на рис. 12.5 мы удаляли треугольники в неправильном порядке и в результате получили несвязный граф, не удовлетворяющий формуле Эйлера (V = 10, E = 14, F = 6). Тем не менее всегда возможно, воспользовавшись методом Коши, упростить граф, не сталкиваясь с такой ситуацией.
Рис. 12.5. Метод Коши может приводить к вырожденным многоугольникам
Как мы уже отмечали, Коши поставил рекорд по доказательству теорем, не осознавая их важности и не доводя до логического завершения. Яркий пример — его доказательство формулы Эйлера. В своей статье он явно утверждает, что его доказательство применимо к выпуклым многогранникам. Это правда, но на самом деле оно применимо к гораздо более общему классу многогранников. Ключевой шаг доказательства Коши — удаление грани и перенос оставшейся части многогранника на плоскость удаленной грани, так чтобы никакие грани не пересекались. Это можно сделать для любого выпуклого многогранника, но также и для многих других.
Например, доказательство Коши проходит без каких-либо изменений для невыпуклого многогранника на рис. 12.6. Чтобы убедиться в этом, просто расположим камеру Лакатоса рядом с нижней гранью куба.