Відкрите суспільство та його вороги

Щодо першого з цих двох питань, здається, майже ніхто не помітив, що Платон, проявляючи великий інтерес до проблеми ірраціональності, не став би запроваджувати дві ірраціональні величини √2 та √3 (про які він недвозначно говорить в уривку 54 b), якби він не прагнув представити саме ці ірраціональні числа як неподільні далі елементи його світу. (Ф. Корнфорд у своїй книжці «Космологія Платона» на ст. 214 та ст. 231 довго обговорює обидва ці питання, але запропоноване ним розв'язання обох проблем — чи «гіпотеза», як він називає його на ст. 234, — здається мені абсолютно неприйнятним. Якби Платон насправді прагнув досягти певної «традиції», подібної до тієї, що розглядається Корнфордом — хоча Платон ніде не натякає на існування чогось меншого за те, що Корнфорд називає «ступенем В»,— то йому було б досить поділити пополам сторони елементарних квадратів та рівнобедрених трикутників, які Корнфорд називає «ступенем В», побудувавши кожний із них з чотирьох елементарних фігур, що не містять у собі ірраціональних величин.)

Втім, якщо Платон прагнув запровадити ці ірраціональні величини у світ як сторони субелементарних трикутників, з яких складено все на світі, тоді він повинен був вірити, що в такий спосіб можна розв'язати проблему. А ця проблема, на мою думку, полягала у «природі (спільномірності та) неспільномірності» («Закони», 820 с). Звісно, цю проблему особливо важко було розв'язати на основі космології, побудованої на якомусь різновиді атомістичної теорії, оскільки ірраціональні величини не є кратними хоч якоїсь одиниці, що є виміром раціональних величин. Втім, якщо одиниці виміру самі виражені відтинками, що перебувають в «ірраціональних співвідношеннях», тоді можна пояснити цей украй важливий парадокс, адже такими одиницями можна виміряти як раціональні, так й ірраціональні величини, а існування ірраціональних величин перестає бути незбагненним чи «ірраціональним».

Проте Платон знав, що, крім √2 та √3, є й інші ірраціональні величини, оскільки в «Теететі» згадує про відкриття нескінченної послідовності ірраціональних квадратних коренів (в уривку 148 b він також говорить, що «подібні міркування справедливі й стосовно твердих тіл», проте це не обов'язково повинно стосуватися кубічних коренів, а може відноситись до діагоналі куба, тобто до √3). У «Гіплії Великому» він також згадує (303 b-с; див. Heath, op. cit., p. 304) той факт, що шляхом додавання (чи інших арифметичних дій) ірраціональних величин можна здобути інші ірраціональні числа (але також і раціональні; тут Платон, певно, натякає, що, наприклад, 2-√2 дорівнює ірраціональному числу, і навпаки, здобуте число, якщо до нього додати √2, звісно, даватиме раціональну величину). З огляду на ці обставини стає зрозумілим, що якби Платон хотів розв'язати проблему ірраціональності шляхом введення своїх елементарних трикутників, то він повинен був вважати, що всі ірраціональні величини (чи принаймні кратні їм числа) можна вивести шляхом додавання (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3 і кратних їм чисел. Звісно, це було би помилкою, але в нас є всі підстави вважати, що на той час не існувало жодних доказів зворотного. А твердження, що є лише два різновиди атомарних ірраціональностей — діагоналі квадрата і куба — і що всі інші ірраціональні величини можна арифметичним шляхом вивести з (а) одиниць, (б) √2 та (в) √3, могло видатися досить вірогідним, зважаючи на відносний характер ірраціональних величин. (Я маю на увазі той факт, що ми можемо з цілковитим правом назвати ірраціональною як діагональ квадрата з одиничною стороною, так і сторону квадрата з одиничною діагоналлю. Слід також пам'ятати, що Евклід у X книжці, визначенні 2 і далі називає всі неспільномірні квадратні корені «спільномірними через їхні квадрати».) Отож, Платон цілком міг вірити у правильність цього твердження, навіть якщо він, певно, і не мав у своєму розпорядженні неспростовного доказу свого припущення. (Вперше це твердження, очевидно, спростував Евклід.) У тому ж фрагменті з «Тімея», де Платон викладає свої міркування, чому він віддав перевагу субелементарним трикутникам, є одне незаперечне посилання на певну недоведену гіпотезу, про яку він пише («Тімей», 53 c-d): «усі трикутники можна вивести з двох, що мають по одному прямому куту і по два гострих, але при цьому в одного (півквадрата) по обидва боки від прямого кута лежать рівні кути величиною в одну й ту саму частку прямого кута, обмежені рівними сторонами, а в іншого (піврівнобедреника) — нерівні кути, обмежені нерівними сторонами. Саме в них, ми припускаємо, початок... усіх інших тіл, покладаючись у цьому на ймовірність (чи вірогідне припущення), поєднану з необхідністю (доказом). Принципи, віддалені ще більше, ніж ці два, відомі лише богам, а з людей їх знають тільки ті, кого вподобають на небесах». І далі, пояснивши, що є безліч нерівнобедрених трикутників, з яких слід обирати найкращі, й, сказавши, що цими найкращими є половинки рівнобедреників, Платон мовить («Тімей», 54 а-b; Корнфорд був змушений пом'якшити цей уривок, щоб вкласти його в рамки своєї інтерпретації; див. його прим. 3 до ст. 214): «Це вимагає занадто довгого обгрунтування, але якби комусь пощастило дослідити це питання і довести саме такі властивості, то ми із задоволенням визнали б таку людину переможцем». Платон не пояснює, що він має на увазі під «такими властивостями», — певно, це якась (гіпотетична) математична властивість, що виправдовує твердження, згідно з яким після вибору трикутника, який містить √2, «найкращим вибором» буде трикутник, що містить у собі √3. З огляду на наведені вище міркування, я вважаю, що ця Платонова властивість була гаданою відносною раціональністю інших ірраціональних величин, тобто величиною, співвідносною з одиницею, квадратним коренем з двох та квадратним коренем з трьох.