Жемчужина Эйлера

Теорема классификации говорит, что любая поверхность гомеоморфна сфере с ручками или сфере со скрещенными колпаками. Но ничего не говорит о комбинации того и другого. Например, вторая картинка на рис. 17.10 — сфера с одной ручкой и одним скрещенным колпаком. Как ее классифицировать? Согласно приведенным выше вычислениям, эйлерова характеристика сферы равна 2, добавление ручки увеличивает ее на 2, а добавление скрещенного колпака уменьшает на 1. Поэтому эйлерова характеристика этой поверхности равна –1. Из-за наличия скрещенного колпака мы знаем, что поверхность неориентируемая. По теореме классификации, она гомеоморфна сфере с тремя скрещенными колпаками, которая называется поверхностью Дика160.

Беглый взгляд на третью поверхность на рис. 17.10 показывает, что она двусторонняя (ориентируемая) и содержит только одну компоненту края. Интересно, что сам край образует так называемый трилистный узел. В следующей главе мы увидим, что любой узел можно получить как край ориентируемой поверхности с одной компонентой края. Построив разбиение этой поверхности и посчитав вершины, ребра и грани, мы найдем, что ее эйлерова характеристика равна –1. По теореме классификации поверхностей с краем, эта поверхность гомеоморфна тору с вырезанным диском.

И напоследок вернемся к большому икосаэдру и большому додекаэдру — многогранникам Кеплера-Пуансо с треугольными и пятиугольными гранями (см. главу 15). Хотя с первого взгляда этого не скажешь, они являются ориентируемыми поверхностями (пересекающимися в трехмерном пространстве). Эйлерова характеристика большого икосаэдра равна 2, поэтому он гомеоморфен сфере, а большого додекаэдра –6, поэтому он гомеоморфен тору с 4 дырками.