Жемчужина Эйлера
- Автор: Ричесон Дэвид С.
- Год: 2021
- Язык: русский
- Жанр: Прочее научное
Электронная книга - «Жемчужина Эйлера». Краткое содержание книги:
В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V – E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.
Издание предназначено для широкого круга любителей математики.
V – E + F = χ(сфера) + χ(скрещенный колпак) – 1 = 1.
Мы делаем вывод, что эйлерова характеристика проективной плоскости (сферы с одним скрещенным колпаком) равна 1. При добавлении c скрещенных колпаков получаем
χ(сфера с с скрещенными колпаками) = 2 – с.
Теперь мы знаем, как вычислить эйлерову характеристику любой поверхности, которую можно получить из сферы добавлением ручек и скрещенных колпаков. Остается важный вопрос: существуют ли поверхности, которые нельзя получить таким способом? Иначе говоря, можно ли описать все возможные поверхности в терминах ручек и скрещенных колпаков? На математическом жаргоне вопрос звучит так: можно ли классифицировать все поверхности?
В математике теоремы классификации обычно трудны или вообще невозможны. Неудивительно, что Эйлер так и не довел до конца свою классификацию многогранников. Но иногда классифицировать математические объекты удается. Ведь классифицировал же Теэтет все правильные многогранники, а Архимед — полуправильные многогранники.
Удивительно, что классифицировать поверхности (с краем и без края) можно. Каждая замкнутая поверхность гомеоморфна сфере с ручками или сфере со скрещенными колпаками. То есть каждая ориентируемая поверхность топологически эквивалентна тору с каким-то числом дырок, а каждая неориентируемая поверхность — сфере с одной или большим числом прикрепленных к ней лент Мёбиуса. На самом деле теорема даже сильнее. Если дана произвольная замкнутая поверхность, для которой известна эйлерова характеристика и ориентируема она или нет, то эту поверхность можно точно идентифицировать.
Например, предположим, что S — ориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –6. Поскольку S ориентируемая, мы знаем, что она гомеоморфна сфере рода g (сфере с g ручками), где –6 = χ(S) = 2 – 2g. Следовательно, S гомеоморфна тору с 4 дырками. Аналогично, если T — неориентируемая замкнутая поверхность с эйлеровой характеристикой –4, то она гомеоморфна сфере с с скрещенными колпаками, где –4 = χ(Т) = 2 – с. Иными словами, T гомеоморфна сфере с 6 скрещенными колпаками.
Похожая теорема классификации имеет место для поверхностей с краем. Любая поверхность с краем эквивалентна одной из этих стандартных поверхностей с одним или несколькими вырезанными дисками. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края определяют поверхность однозначно. Единственной ориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и двумя компонентами края является цилиндр, единственной неориентируемой поверхностью с эйлеровой характеристикой 0 и одной компонентой края — лента Мёбиуса и т. д. (см. табл. 17.1).
Таблица 7.1. Эйлерова характеристика, ориентируемость и число компонент края для различных поверхностей
Поверхность S χ(S) Ориентируемая Компонент края Сфера 2 Да 0 Тор 0 Да 0 Тор с двумя дырками –2 Да 0 Тор с g дырками 2 – 2g Да 0 Диск 1 Да 1 Цилиндр/кольцо 0 Да 2 Бутылка Клейна 0 Нет 0 Проективная плоскость 1 Нет 0 Сфера с c скрещенными колпаками 2–c Нет 0 Лента Мёбиуса 0 Нет 1В некотором смысле первым, кто начал процесс классификации (в 1850-х годах), был Бернхард Риман (1826–1866). Риман — один из самых знаменитых математиков XIX столетия. Он получил степень доктора в Гёттингенском университете под руководством Гаусса в самом конце карьеры последнего. В то время Гёттинген не был центром математики в Германии (Гаусс читал там только вводные курсы), поэтому над диссертацией Риман работал в основном в Берлинском университете.
Рис. 17.8. Бернхард Риман